Quiero saber como hacer una demostración matemática

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¡Hola Javier!

Expresado de foema que se puede operar es

$$\begin{align}&1·10+3+ 2·10+3+3·10+3+...+n·10+3=(1+2+3+...+n)^2\\&\\&\sum_{i=1}^n (10i+3) = \left(\sum_{i=1}^n i  \right)^2\end{align}$$

Eso no se cumple ni para n=1

¡Ay Javier!  Hay que saber expresarse bien

13 es 13

1·3 ó 1*3 es uno por tres

1^3 es uno elevado al cubo

¿Cómo voy ya a adivinar que que con 13 quieres decir 1 al cubo?

Volvemos a probar:

$$\begin{align}&1^3 + 2^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2\\&\\&\text{Lo demostramos por inducción}\\&\\&\text {para n=1 se cumple porque}\\&\\&1^3=1^2\\&\\&\text{supongamos que se cumple para n,}\\&\text{entonces para n+1 será}\\&\\&1^3 + 2^3+...+n^3+(n+1)^3=\\&(1+2+...+n)^2+(n+1)^3 \\&\\&\text{ veamos lo que valdría}\\&[1+2+...+n+(n+1)]^2\\&\text{Y comprobaremos que eso de más arriba}\\&\\&[1+2+...n+(n+1)]^2=\\&\\&(1+2+...+n)^2+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2=\\&\\&(1+2+...+n)^2 + 2 \left(\frac{n(1+n)}{2}  \right)(n+1)+(n+1)^2=\\&\\&(1+2+...+n)^2 +n(n+1)^2+(n+1)^2=\\&\\&(1+2+...+n)^2+(n+1)^2(n+1) =\\&\\& (1+2+...+n)^2+(n+1)^3\\&\\&\text{Luego resumiendo}\\&1^3 + 2^3+...+n^3+(n+1)^3=\\&(1+2+...+n)^2+(n+1)^3 =\\&[1+2+...+n+(n+1)]^2\\&\\&\\&1^3 + 2^3+...+(n+1)^3=[1+2+...+(n+1)]^2\\&\\&\end{align}$$

Luego la fórmula es válida para n+1, con ello queda demostrada la inducción.

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Hola.

Le ofrezco una disculpa por no aclarar debidamente la información. Efectivamente es 13, no es 1 elevado al cubo ni 1*3.

Me gustaría saber con que método se puede demostrar.

De antemano gracias