¿Cómo se determina el limite de las siguientes funciones?
Usted como dueño de una Pyme, ha determinado que t meses después de que se inicia la distribución de un nuevo producto, la cantidad Q de unidades (en miles), esta dada por:
Q (t) = 7t2 + 6t
(t + 1)2
A ¿qué ocurre con la producción en el largo plazo? ( Es decir, cuando t tiende a infinito)
Siguiente ejercicio
Un urbanista de la ciudad determina un modelo matemático de la población P (en miles de personas), de la comunidad, en términos ( o en función), del tiempo t (en años) Esta se expresa como:
P (t) = 50 t - 60 + 80
t2 + 10 t + 1
a) En el momento presente (cuando no ha transcurrido un solo año), ¿cuál es la población de la ciudad?
b) Determina la población dentro de 5 años
c) ¿Qué población esperaría el urbanista en el largo plazo?
$$\begin{align}&t\end{align}$$
2 Respuestas
Supongo que lo que quisiste poner es una división, cosa que podías expresar así
Q (t) = (7t^2 + 6t) / (t + 1)^2
O mejor aún con el editor de ecuaciones
$$\begin{align}&Q(t) = \frac{7t^2+6t}{(t+1)^2} = \end{align}$$Voy a resolverlo asumiendo que esa es la expresión, en caso que no sea así avisa y rehacemos el cálculo
$$\begin{align}&a) \\&\lim_{t \to \infty} Q(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{7t^2+6t}{(t+1)^2} = \\&\lim_{t \to \infty} \frac{7t^2+6t}{t^2+2t+1}\\&\text{Saco factor común con el exponente más grande de t en numerador y denominador}\\&\lim_{t \to \infty} \frac{7t^2(1+\frac{6}{7t})}{t^2(1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2})}\\&\lim_{t \to \infty} \frac{7(1+\frac{6}{7t})}{(1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2})}\\&\text{Cuando t tiende a infinito, lo que está dentro de los paréntesis tiende a 1}\\&\lim_{t \to \infty} \frac{7(1+\frac{6}{7t})}{(1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2})} \to \frac{7}{1} = 7\\&\end{align}$$La segunda revisa la expresión, pues así como está escrita tiende a cero (ya que el exponente del numerador es 1 y el exponente del denominador es 2)
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¡Hola Lourdes!
Imagino que quieres decir
$$\begin{align}&Q(t)= \frac{7t^2+6t}{(t+1)^2}\\&\\&\text{La producción a largo plazo es}\\&\\&\lim_{t\to \infty}\frac{7t^2+6t}{(t+1)^2}=\lim_{t\to \infty}\frac{7t^2+6t}{t^2+2t+1}=\\&\\&\text{dividimos numerador y denominador por }t^2\\&\\&=\lim_{t\to \infty}\frac{7+\frac 6t}{1+\frac 2t+\frac 1{t^2}}=\frac{7+0}{1+0+0}=7\\&\\&\end{align}$$La segunda expresión no se puede entender, deberías escribirla en la forma
(numerador)/(denominador)
o combinaciones de varias de ellas, por ejemplo
(50t-60) / (t^2+10) + 80/(t+1)
Yo creo que quieres decir esa, es decir:
$$\begin{align}&P(t)=\frac{50t-60}{t^2+10}+ \frac{80}{t+1}\\&\\&sería\\&\\&\text{Población actual } \\&P(0)=\frac{-60}{10}+\frac {80}1=-6+80=74 \;miles= 74000\\&\\&\text{Dentro de 5 años}\\&P(5)=\frac{50·5-60}{5^2+10}+ \frac{80}{5+1}=\\&\\&\frac{190}{35}+\frac {80}6=\frac{190·6+80·35}{35·6}= \frac{3940}{210}=\\&\\&18.7619\;miles = 18761\\&\\&\text{A largo plazo}\\&\\&\lim_{t\to \infty}\left(\frac{50t-60}{t^2+10}+ \frac{80}{t+1}\right)=\\&\\&\text{en la primera dividimos todo por }t^2\text{ en la segunda por }t\\&\\&\lim_{t\to \infty}\left(\frac{\frac{50}t-\frac{60}{t^2}}{1+\frac{10}{t^2}}+ \frac{\frac{80}t}{1+\frac 1t}\right)=\frac{0+0}{1}+\frac{0}{1+0}=0+0=0\\&\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas enendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides valorar Excelente las respuestas que te hemos dado para que puedas seguir siendo atendida.
Saludos.
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