Ecuación del plano que contiene un recta
Me piden encontrar, si es posible, la ecuación del plano que contiene la recta: (t+1, t+2,-2t+1).
1 respuesta
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¡Hola Jhon!
Los planos que contienen una recta son infinitos.
Si el vector director de la recta es perpencicular el del plano y tienen un punto en común el plano contendrá a la recta.
Otra forma de hacerlo es tomar dos puntos de la recta y todo plano que los conenga contendrá la recta.
Me gusta más este segundo método. La recta es
(t+1, t+2,-2t+1).
El primer punto lo obtenemos con t=0 y el segundo con t=1
(1,2, 1)
(2, 3, -1)
El plano será
Ax + By + Cz + D = 0
A + 2B + C + D = 0
2A + 3B - C + D = 0
sumándolas
3A+5B +2D=0
D = -(3A+5B)/2
C= -A-2B-D = -A-2B +(3A+5B)/2 = A/2 + B/2
Luego cualquier plano de la forma
Ax + By + [(A+B)/2]z - (3A+5B)/2 = 0
contiene la recta (t+1, t+2,-2t+1)
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Vamos a comprobarlo
A(t+1) + B(t+2) + [(A+B)/2](-2t+1) - (3A+5B)/2 =
At + A + Bt + 2B -At + A/2 - Bt +B/2 - 3A/2 - 5A/2 =
A + 2B + A/2 + B/2 - 3A/2 - 5A/2 =
3A/2 - 3A/2 + 5B/2 - 5B/2 = 0
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Y ya tienes todos los planos, pero por escoger los dos mas sencillos
Para A=1, B=0
x +z/2 - 3/2 = 0
2x + z - 3 = 0
Para A=0, B=1
y + z/2 - 5/2 = 0
2y + z - 5 = 0
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