Análisis combinatorio: Demuestra que para todo n∈ N: ∑_(r=0)^n▒(n¦r)^2 =(2n¦n)Sugerencia

  1. Demuestra que para todo n pertenece naturales: 
    $$\begin{align}&\sum_{i=1}^{n} \binom {n} {r}^2=\binom {2n} {n}\end{align}$$

Sugerencia: Examina el coeficiente de x^n al desarrollar ambos miembros de la igualdad:

(1+x)^2n=(1+x)^n(1+x)^n

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1 Respuesta

5.850.100 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Carolinaboni!

Menos mal que nos dan la sugerencia, si no se podrían quedar el problema para ellos.

$$\begin{align}&(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n\\&\\&(1+x)^n= \sum_{i=0}^n  \binom nix^i\\&\\&(1+x)^n(1+x)^n=\left(  \sum_{i=0}^n  \binom nix^i\right)\left(  \sum_{i=0}^n  \binom nix^i\right)\\&\\&\text{La suma de términos con exponente n será}\\&\\&\binom n0·\binom nn+\binom n1·\binom n{n-1}+···+\binom n{n-1}·\binom n{1}+\binom nn·\binom n0=\\&\\&\text{Pero por las propiedades de los números binómicos}\\&\\&\binom n{i}=\binom{n}{n-i}\\&\\&\text{por que todos esos sumandos son un número por sí mismo}\\&\\&=\binom n0^2+\binom n1^2+...+\binom nn^2=\sum_{r=0}^n\binom nr^2\\&\\&\text{Y por otra parte el coeficente del término con exponente n de }\\&\\&(1+x)^{2n} \text { es }\binom{2n}{n}\\&\\&\text{por lo que}\\&\\&\sum_{r=0}^n\binom nr^2=\binom{2n}{n}\end{align}$$

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