Problema sobre una tira formada por n rectángulos iguales
Se tiene una tira o banda formada por n rectángulos iguales formando una fila. Cada rectángulo puede colorearse de blanco o negro.
a) ¿Cuántas configuraciones diferentes se pueden hacer?
b) ¿Cuántas formas distintas tenemos de colorear la tira, de modo que se obtenga un patrón simétrico?
c) ¿Y si se desea con colores alternados?
2 respuestas
·
·
¡Hola Jaime!
Lo lógico es que antes de formular nuevas preguntas puntúes las que ya se te han costestado y dependiendo de la generosidad se te conteste o no se te conteste. Puntúa esta por favor.
Es distinto si se trata de una tira o una banda cerrada que además de girar se le puede dar la vuelta. La complejidad de este segundo caso me hace pensar que quieres decir una tira, donde cada rectángulo tiene su orden único.
a) Cada rectángulo que añades puede ser blanco o negro, luego las configuraciones previas quedan multiplicadas por dos.
Así con solo uno puede hacer dos configuraciones
con dos rectágulos puede haber 2·2 = 2^2
con tres serán 2·2^2 = 2^3
Y con n rectángulos serán 2^n
·
2)
Si dividimos la tira en dos partes la segunda estará totalmente predeterminada por la primera, luego no añade ninguna configuración extra.
Si N es par la mitad coincide con N/2, entonces las configuraciones posibles serán 2^(N/2)
Si N es impar tomaremos la parte entera de N/2 y además el cuadrado siguiente que puede ser blanco o negro, el resto ya tiene su color predeterminado. Las configuracones serán:
2 ^[parte entera de(N/2) +1]
O se puede también hacer
2^[(N+1)/2]
·
3) Con colores alternados el color del primero ya lo predetermina todo, luego solo hay dos configuraciones.
Y eso es todo, recuerda valorar la respuesta del cuadrado simétrico con los números 1 a N.
Saludos.
:
:
Razonemos cada pregunta (olvidate de las matemáticas, imaginá que estás por pintar vos la tira)
a) El primer rectángulo puede ser Blanco (B) o Negro (N), así que tenemos 2 opciones
El segundo rectángulo puede ser B o N así que nuevamente tenemos 2 opciones
...
El rectángulo N puede ser B o N así que nuevamente tenemos 2 opciones
Por lo tanto tenemos 2*2*2...*2 = 2^N opciones
b) Para que sea simétrico es lo mismo hasta la mitad, a partir de ahí para que sea simétrico solo hay una posibilidad (ya que sino no sería simétrico). Luego, la cuenta sería
2*2*2...*1*1*1 =
2^(N/2) si es par
2^((N+1)/2) si es impar
c) Acá solo tenemos 2 opciones y son para el primer rectángulo que debe ser B o N, a partir de ahí ya todos los rectángulos quedan definidos con el color opuesto al anterior.
Saludos y califica todas las respuestas (incluidas de otras preguntas)