Como resolver problema distribución de poisson

Una empresa textil produce un tipo de tela en rollos de 100 metros .el numero de defectos que se encuentran al desenrollar la tela es una variable aleatoria de poisson que tiene en promedio 4 defectos por cada 20 metros de tela

a) ¿Qué probabilidad hay de que al desenrollar la tela se encuentre menos de 3 defectos en los primero 50 metros?

b)Hallar la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentren defectos en el primer segmento de 5 metros de tela

c) Si se desenrrollan 5 rollos de la tela escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentren defectos en el primer segmento de 5 metros de tela en al menos 2 de ellos?

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¡Hola These!

a) El número de fallos es una variable de Poisson cuyo parámetro lambda es el número de fallos esperado en los metros de tela que nos den.

Como el promedio era 4 fallos en 20 metros eso es un fallo cada 5 metros y por lo tanto en los primeros 50 metros se esperan 10 fallos, ese será el paraámetro lambda.

$$\begin{align}&P(k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\\&\\&P(<3) = P(0)+P(1)+P(2)=\\&\\&\frac{e^{-10}·10^0}{0!}+\frac{e^{-10}·10^1}{1!}+\frac{e^{-10}·10^2}{2!}=\\&\\&e^{-10}(1+10+50)=61e^{-10}=0.0027693957\\&\\&\\&2)\\&\\&\text{Cada 5 metros se espera 1 fallo, luego }\lambda =1\\&\\&P(0)=\frac{e^{-1}·1^0}{0!}= e^{-1}=0.36787944\\&\\&\\&3)\\&\\&\text{Será mas fácil calcular que solo haya 0 ó 1 con fallos}\\&\\&p=P(fallos)=1-P(0)=1-0.36787944=0.63212056\\&\\&\text{Y tenemos una binomial}\\&\\&P(\text{0 o 1 rollos mal})=\binom 50p^0(1-p)^5+\binom 51p^1(1-p)^4=\\&\\&0.3678944^5 +5·0.63212056·0.3678944^4=\\&\\&0.06463719\\&\end{align}$$

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