Verificar mi respuesta de la siguiente ecuación exacta

Alguien me puede ayudar verificando si mi respuesta es correcta de la siguiente ecuación:

$$\begin{align}&y(1+lnxy+2x)dx+(x-2y^2)dy=0\\&(1+lnxy+2x)dx+(\frac{x}{y}-2y)dy=0\\&\frac{dM}{dy}=\frac{1}{y}         \\&\frac{dN}{dx}=\frac{1}{y}     \\&\int_{}(\frac{x}{y}-2y)dy =xlny-y^2+g(x)\\&lny+g'(x)=1+lnx+lny+2x\\&g'(x)=2x+lnx+1\\&g(x)=\int_{}(2x+lnx+1)dx=x^2+xlnx+c\\&xlnxy-y^2+x^2+c=0\\&y=+-\sqrt{xlnxy+x^2+c}\end{align}$$
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1 Respuesta

5.857.050 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Wlady!

He ido repasando las cuentas y has eludido bastantes pasos pero me parece que está bien.

Solo que al final parece como si quisieras despejar la función, pero no lo consigues porque en el lado derecho te queda un x·ln(xy) con lo cual la y no ha quedado despejada, para eso casí es mejor dejarla como en el paso penúltimo.

La comprobación sería derivar implícitamente la respuesta y ver que nos da la ecuación diferencial.

$$\begin{align}&x\,ln(xy)-y^2+x^2+c=0\\&\\&ln(xy)+x·\frac{1}{xy}·\left(y+x·\frac{dy}{dx}\right)-2y·\frac {dy}{dx}+2x=0\\&\\&ln(xy)+1+\frac{x}{y}·\frac {dy}{dx}-2y·\frac {dy}{dx}+2x=0\\&\\&1+ln(xy)+2x+\left(\frac xy-2y\right)\frac{dy}{dx}=0\\&\\&(1+ln(xy)+2x)dx + \left(\frac xy-2y\right)dy=0\\&\end{align}$$

Luego está bien.

Saludos.

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