Hallar el valor de k para que la ec tenga solución única, múltiple o sin solución
Encuentre los valores de k para los cuales el sistema dado:
a) Tenga solución unica
b) No tenga solución
c) Tenga solución multiple
kx+y+kz=-k+2
2x+2y-2kz=2k
x+ky-3z=k
1 Respuesta
Lo primero es plantear la matríz como está y triangularla. Como esta página es muy mala para eso, te dejo una imagen
Y ahora se dan distintas situaciones según lo que necesitas:
a) La última fila debe ser distinta de cero en ambos casos
b) En la última fila el valor de z debe ser cero, mientras que el valor independiente distinto de cero
c) En la última fila, ambos términos deben ser cero
Fijate si a partir de eso podés llegar a alguna conclusión, yo seguiré en un rato porque me está andando mal la conexión y no puedo usar el editor de ecuaciones
$$\begin{align}& \end{align}$$A ver ahora si puedo...
$$\begin{align}&a) \text{Acabo de darme cuenta que antes te dije mal, acá lo que es necesario es que el término}\\&\text{de z de la última fila sea distinto de cero, y no hay restricciones del término independiente}\\&2(k-1)(-4 + (k+1)^2) \ne 0\\&resolviendo...\\&2(k-1)(-4 + k^2 + 2k + 1) \ne 0\\&(k-1)(k^2 + 2k -3) \ne 0\\&k-1 \ne 0 \Rightarrow k \ne 1 \lor \\&k^2+2k-3 \ne 0\\&k_{1,2} = \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2} \\&k \ne 1 \land k \ne -3\\&Rpta \ a): k \in R - \{-3,1\}\\&b) \text{Los términos que hacen z cero ya los calculamos, veamos de esas opciones cuales no anulan el término independiente}\\&k=-3 \to -2((-3)-1)^2((-3) + 2) = -2\cdot 16\cdot-1 = 32 \ne0 \Rightarrow Incompatible\\&k = 1 \to -2(1-1)^2(1+2) = -2\cdot 0\cdot 3 = 0 \Rightarrow Compatible \ indeterminado\\&\\&Rpta\ b): k=-3\\&Rpta\ c): k=1\end{align}$$y eso es todo, por las dudas revisa las cuentas, porque son muchas operaciones y puedo haber cometido algún "dedazo"