Ejercicios de conteo. Análisis combinatorio
- En el patio de la escuela hay 13 niños tomados de la mano. ¿De cuántas formas pueden formar un círculo?.
- Una asociación civil con 37 miembros debe elegir una mesa directiva con un presidente, un secretario y tres equipos de dos personas cada uno. ¿Cuántas mesas directivas distintas se pueden formar?.
- ¿De cuántas formas pueden dividirse doce personas en dos grupos, de ocho y cuatro personas respectivamente?.
- ¿De cuántas maneras diferentes puede elegirse un grupo de cinco o más personas de entre un grupo de diez personas?.
2 Respuestas
;)
;)
Hola carolina!
No mandes tantos problemas por pregunta.
1.- Es lo que se llama permutaciones circulares de n elementos
$$\begin{align}&PCn=(n-1)!=12!=479001600\end{align}$$Si no estuvieran en círculo serían 13!
pero en círculo cada 13 equivalen a 1; ya que por ejemplo si están
ABCDEFGHIJKLM=BCDEFGHIJKLMA=······=MABCDEFGHIJKL
Luego 13!/13= 12!
2.- Hay 37 posibilidades para el presidente
Escogido el presidente quedan 36 para el secretario.
35 para el primer equipo de 2
33 para el segundo equipo de dos y
31 para el tercero.
Luego por el principio de la multiplicación:
$$\begin{align}&37·36·C_{35}^2·C_{33}^2·C_{31}^2=37·36·95·528·465=1,9 ·10^{11}\\&\\&\end{align}$$3.-
formas de formar un grupo de 8 (No influye el orden) entre 12
$$\begin{align}&C_{12}^8\\&\\&quedan \ 4:C_4^4=1\\&\\&Luego:\\&C_{12}^8=495\end{align}$$4.- Los grupos pueden ser de 5 personas, o de 6, o de 7, o de 8, o de 9 o de 10.
Luego:
$$\begin{align}&C_{10}^5+C_{10}^6+C_{10}^7+C_{10}^8+C_{10}^9+C_{10}^{10}=\\&\\&=252+462+120+48+10+1=893\end{align}$$Saludos
;)
;)
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Hola Carolina:
Error cálculo
La suma correcta del 4.- es
252+210+120+45+10+1=638
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¡Hola Carolinaboni!
Deberías mandar menos ejercicios por pregunta, uno es lo normal y cuando se hace así dedicamos más tiempo a explicarlo.
1) Son las permutaciones circulares de 13 elementos
PC(13) = P(12) = 12! = 479001600
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2) EL presidente será uno de los 37, el secretario uno de los 36 que quedan.
Ahora tengo yo la duda si los equipos son intercambiables o no. Yo creo que son intercambiables ya que no dicen que sea para tal cosa, otro para otra y otra para una tercera cosa.
Entonces el equipo 1 tiene 35 personas para elegir y se eligen 2, la operación es combinaciones de 35 tomadas de 2 en 2
C(35,2) = 35·34 / 2 = 595
Para el equipo segundo habrá 33 personas disponibles
C(33,2) = 33·32 / 2 = 528
Y para el tercero quedan 31 personas
C(31,2) = 31·30 / 2 = 465
Y ahora viene cuando la peinan. Como te decía, yo supongo que los tres equipos son iguales luego da lo mismo que Luis y Pablo estén en el equipo 1 que el 2 ó el 3. Si tomamos tres equipos el orden que pueden tener es permutaciones de 3
P(3) = 3! = 6
Luego cada conjunto de tres equipos lo hemos contabilizado 6 veces, por tanto habrá que dividir entre 6.
Luego en total son:
37 · 36 · 595 · 528 · 465 / 6 = 194584420800 / 6 = 32430736800
Si te dijeran que los tres equipos son distintos, pongamos por ejemplo, un equipo de economía, otro de actividades culturales, otro de festejos, entonces no se dividiría entre 6 y serían 194584420800
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3)
Simplemente debemos saber las combinacones del grupo de 8 o del de 4, los que sobran val al otro grupo obligatoriamente.
Luego veremos las combinaciones posibles en el de 4
C(12,4) = 12·11·10·9 / (4·3·2·1) = 495
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4)
Serán
C(10,5)+C(10,6)+C(10,7)+C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)
Puedes calcular cada combinación y hacer la suma o hacer algo mucho más imaginativo.
Sabes que los números combinatorios son simétricos respecto del centro
C(10,0) = C(10,10)
C(10,1) = C(10,9)
C(10,2) = C(10,8)
Si tomamos todas las sumas eso coincide con (1+1)^10
C(10,0)+C(10,1) + ....+ C(10,10) = (1+1)^10 = 2^10 = 1024
Son 11 sumas y nosotros tenemos 6, luego tenemos la suma central y la mitad del resto. Entonces la suma central es
C(10,5) = 10·9·8·7·6 / (5·4·3·2·1) = 6048 / 120 = 252
y la mitad de lo que queda es
(1024-252)/2 = 386
Luego la suma de los seis términos es 386 + 252 = 638
Si esto te ha resultado my complicado hazlo con la suma de las seis combinaciones, ya he comprobado que el resulstado es ese de 638.
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