Para cualquier conjunto A, su conjunto potencia, P^A, se define como el conjunto...n para el cual
Materia Análisis combinatorio.
Para cualquier conjunto A, su conjunto potencia P^A, se define como el conjunto formado por todos sus subconjuntos. Demuestra que si A tiene n elementos, entonces |P^A | = 2^n.
2 respuestas
$$\begin{align}&C_n^0=\binom {n}{0}=1\\&\\&de \ un \ elemento: \ C_n^1= \binom{n}{1}\\&\\&de \ dos \ elementos: C_n^2=\binom {n}{2}\\&.\\&.\\&.\\&de \ \ n \ elementos: C_n^n=\binom {n}{n}=1\\&\\&\\&[PotA(n)]=\binom {n}{0}+\binom {n}{1}+\binom {n}{2}+······+\binom {n}{n}=\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\\&\\&\\&Del \ Binomio \ de \ Newton:\\&(a+b)^n=\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k}\\&\\&Si \ a=1 \ \ y \ \ b=1 \Rightarrow(1+1)^n=2^n=\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}1^k1^{n-k}=\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\\&\\&Luego \Longrightarrow [PotA(n)]=2^n\end{align}$$;)
;)
Hola carolinaboni!
El número de subconjuntos de 0 elementos es:
Saludos
;)
;)
;)
;)
El sumatorio es desde k=0
$$\begin{align}&\sum_{k=0}^{n}\end{align}$$saludos
;)
;)
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¡Hola Carolinaboni!
Lo demostraremos por inducción.
i) Comprobampos que se cumple para n=1
Los subconjuntos del conjunto de un elemento son 2, el vacío y el total,
2^1 = 2
luego se cumple para n = 1
Ii) Supongamos que se cumple para n y veamos que se cumple para n+1
Si el número de subconjuntos para n es 2^n. Entonces al añadir 1 elemento más sirven como subcinjuntos todos esos que ya teníamos más cualquiera de esos subconjuntos con el elemento n+1 añadido. Luego el número de subconjuntos será
2^n + 2^n = 2·2^n = 2^(n+1)
Luego se cumple para n+1
Y ya se han demostrado las dos condiciones necesarias, luego la fórmula de que 2^n es el número de subconjuntos de un conjuntos de orden n es cierta.
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