Problemas de Calculo Diferencial sobre máximos, mínimos, áreas y ángulos
Tengo 3 problemas que les he estado dando vueltas pero no logro resolver, espero que me puedan ayudar
La suma de dos números positivos enteros es 21, encuentra el mínimo valor de la suma del cuadrado de uno y el cubo del otro
Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un circulo de radio R>0
Encontrar los ángulos agudos de la intersección de las siguientes curvas
Y=X^2-2 y x^2+Y^2=4
Si pudieran ayudarme con el que sea se los agradecería mucho
2 respuestas
;)
;) Hola josué!!
Manda un problema por pregunta.
Te hago el primero que es un problema de optimización por derivación:
$$\begin{align}&x+y=21 \Rightarrow y=21-x\\&\\&S=x^3+y^2\\&\\&S(x)=x^3+(21-x)^2\\&Derivando:\\&S'(x)=3x^2-2(21-x)=3x^2+2x-42\\&Mínimo \ relativo \Rightarrow S'(x)=0 \Rightarrow 3x^2+2x-42=0\\&\\&x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+504}}{2·3}=\frac{-2 \pm 2 \sqrt {127}}{6}=\\&x_1=\frac{-1+ \sqrt {127}}{3}>0\\& x_2<0\\&\\&y=21-\frac{-1+ \sqrt {127}}{3}=\frac{64-\sqrt {127}}{3}\\&\\&Comprovción \ mínimo: S''(x)=6x+2\\&\\&S''(\frac{-1+ \sqrt {127}}{3})=6(\frac{-1+ \sqrt {127}}{3})+2 >0 \Rightarrow mínimo\\&\\&SumaMínima=\Bigg (\frac{-1+ \sqrt {127}}{3} \Bigg )^3+ \Bigg (\frac{64-\sqrt {127}}{3}\Bigg)^2=\\&\\&(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\&\\&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\&\\&=\frac{1}{27} \Bigg(-1+3 \sqrt {127}-3·127 + \sqrt{127^3} \Bigg)+\frac{1}{9} \Bigg (4096-128 \sqrt{127}+127 \Bigg)=\\&\\&=\frac{1}{27} \Bigg(-1+3 \sqrt {127}-3·127 + 127 \sqrt{127} \Bigg)+\frac{1}{9} \Bigg (4096-128 \sqrt{127}+127 \Bigg)=\\&\\&=\frac{12287}{27}-\frac{260}{27} \sqrt {127}= \frac{1}{127} \Bigg(12287-260 \sqrt {127}\Bigg ) \simeq346.55\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Saludos
;)
;)
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¡Hola Josué!
Haré un solo ejercicio en cada pregunta, vamos con el primero.
Los dos números serán
x, 21-x
Para hacer menos cuentas, supondré el cubo del primero y el cuadrado del segundo, llamaré S a la función suma que nos piden
S(x) = x^3 + (21-x)^2 = x^3 +x^2 - 42x + 441
Derivamos e igualamos a 0
S'(x) = 3x^2 +2x - 42 = 0
Y resolvemos la ecuación:
$$\begin{align}&x=\frac{-2\pm \sqrt{4+504}}{6}=\frac{-2\pm 2 \sqrt{127}}{6}=\\&\\&\frac{-1\pm \sqrt {127}}{3}\\&\\&x_1\approx -4.0898\\&x_2\approx 3.423\\&\end{align}$$Como ves no hay respuestas enteras positivas. Este cálculo de máximos y mínimos va enfocado a respuestas reales.
Veamos si la respuesta positiva es un máximo o un mínimo, para ello calculamos la derivada segunda
S''(x) = 6x +2
S''(3.423) es positiva a la legua, luego es un mínimo.
Y sabemos que entre 0 y 3.423 la función decrece y entre 3.423 e infinito crece, luego el mínimo para números enteros será el 3 ó el 4, calculemos el valor de la función en ambos
S(3) = 3^3 + 3^2 - 42·3 + 441 = 351
S(4) = 4^3 + 4^2 - 42·4 + 441 = 353
Luego el mínimo se da para x=3, recuerdo que x era el número elevado al cubo. Luego la respuesta es que la suma mínima es para
18 al cuadrado y 3 al cubo.
Y eso es todo, manda los otros ejercicios si quieres cada uno en una pregunta. NO olvides antes puntuar esta.
Saludos.
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Pues el chiste de esto es que me dicen que son enteros positivos
No, desde luego no es el mejor ejemplo para aplicar la teoría de máximos y mínimos pero también sirve. Por favor, puntúa al otro experto lo mismo que a mí, lo hizo con la mejor intención.
Son números enteros positivos - Valero Angel Serrano Mercadal
ya me di cuenta después. - Lucas m