Resolver inecuación de tercer grado.Se deben dar intervalos cerrados o abiertos de las soluciones de la misma

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¡Hola Juana!

Pocas veces he hecho inecuaciones de tercer grado, veamos si se puede hacer.

$$\begin{align}&x^2(14-3x)\le13x+6\\&\\&14x^2-3x^3\le 13x+6\\&\\&3x^3-14x^2+13x+6 \ge0\\&\\&\text{Si hubiera una respuesta entera debería ser}\\&\text{divisor de 6luego }\{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\}\\&\text{-1 y 1 se comprueba a ojo que no}\\&\\&3·2^3-14·2^2+13·2+6=24-56+26+6=0\\&\\&\text{Luego (x-2) es divisor}\\&\end{align}$$

Y lo que es pesado es hacer en esta página la división por Ruffini, no lo voy a hacer, si lo necesitas dímelo.  Haciéndola en mi papel aparte me ha dado

$$\begin{align}&3x^3-14x^2+13x+6=(x-2)(3x^2-8x-3)\\&\\&\text{Y en vista de lo pesado que es usar Ruffini}\\&\text{resolvemos la ecuación}\\&\\&x=\frac{8\pm \sqrt{64+36}}{6}= 3\;y\;-\frac 13\\&\\&(x-2)(x-3)\left(x+\frac 13\right)\ge 0\\&\\&\text{Puestos en orden hay cambio de signo en }x=- \frac 13, 2, 3\\&\\&\text{si x es menor que su raíz correspondiente el signo}\\&\text{de ese factor es negativo. Si no, positivo.}\\&\text{Y el producto de los tres factores debe ser positivo}\\&\\&\left(-\infty, -\frac 13\right)\; \text{ 3 factores negativos, resultado negativo, no sirve }\\&\left(-\frac 13, 2\right)\; \text{ 2 negativos resultado positivo, SIRVE}\\&\\&(2,3) \;\text{ 1 negativo, resultado negativo, no sirve}\\&\\&(3,\infty)\; \text { 0 negativos, resultado positivo SIRVE}\\&\\&\text{Y justo en las raíces el resultado es 0 que sirve}\\&\\&\text{Luego la solución es:}\\&\\&S=\left[-\frac 13,2  \right]\cup [3,\infty)\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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