¿Área limitada por las curvas?

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¡Hola Anónimo!

La gráfica siempre es un a ayuda. Pero pierdes tiempo y en un examen no tendrás ordenador para hacerla. Luego hay que imaginar un poco las funciones.

Los límites son el eje X, la recta x=2 que es una línea vertical y la función que nos dan. Por lo que se ve esta debe cortar a las otras dos para determinar una región.

Al eje X, que es la recta y=0 lo corta cuando

$$\begin{align}&x \sqrt{x^2+5}=0\\&\\&\text{La raíz cuadrada es siempre} >0\\&\text{Luego el único corte es con x=0}\\&\text{Y ese será el límite izquierdo}\\&\\&\int_0^2 x \sqrt{x^2+5}\;dx=\\&\\&\text{haremos un cambio de variable y de límites}\\&t^2=x^2+5\\&2t\;dt = 2x\;dx\implies x\;dx=t\;dt\\&x=0\implies t=\sqrt 5\\&x=2\implies t=\sqrt{9}=3\\&\\&=\int_{\sqrt 5}^3t·t\;dt=\frac{t^3}{3}\bigg|_{\sqrt 5}^3=9-\frac{5 \sqrt 5}{3}\approx5.27322\end{align}$$

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Una forma de obtener el valor de dicha área sería así (haz click en la imagen para agrandarla):

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