Hallar incógnita sabiendo raíz de polinomio
¿Seríais tan amables de responderme a este ejercicio? :
Sea P(x)=4x(elevado a 3)-7x(elevado a 2)-5x+a
Se pide:
a) Hallar a sabiendo que 3/4 es raíz de P(x)
b)Una vez hallada a, factorizar P(x) en primos de IR(x)
Las respuesta es: (x-2)(x+1)(4x-3)Pero me da mal, no se como hacerlo y es desesperante.
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¡Hola Annie!
Si un número es raíz de un polinomio su valor para ese número es 0
$$\begin{align}&P\left(\frac 34 \right)=4·\left(\frac 34 \right)^3-7· \left(\frac 34 \right)^2-5·\left(\frac 34 \right)+a=0\\&\\&4·\frac {27}{64}-7·\frac{9}{16}-\frac {15}4+a=0\\&\\&\frac{27}{16}-\frac{63}{16}-\frac{15}{4}+a =0\\&\\&\frac{27-63-60}{16}+a=0\\&\\&-\frac{96}{16}+a = 0\\&\\&a=\frac{96}{16}=6\\&\\&\text{con ello el polinomio es}\\&\\&P(x)= 4x^3-7x^2-5x+6\end{align}$$Ahora se supone que deberías aplicar Ruffini a 3/4 que sabes que es raíz del polinomio. Lo malo es que no sé como saldrá porque en esta página se comen los espacios cuando les da la gana. A lo mejor sale todo descentrado
........ 4 -7 -5 6
3/4 3 -3 -6
........ ------------------------
........ 4 -4 -8 0
Luego queda
4x^2 - 4x - 8 = 4(x^2 - x - 2)=
Y esto si no sabes factorizarlo lo haces resolviendo la ecuación de segundo grado
=4(x-2)(x+1)
Juntando la ráiz 3/4 queda
4(x-2)(x+1)(x-3/4) =
El factor 4 lo introducimos dentro del último paréntesis
=(x-2)(x+1)(4x -3)
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Muchas gracias por tu respuesta, el apartado b me ha quedado bastante claro pero no logro entender porque el denominador común es 16 y no 60. Saludos
Puntúa la pregunta con Excelente, está perfectamente respondida.
El denominador común es 16 porque es múltiplo de todos los denominadores, los denominadores son 16, 16 y 4, luego está claro que el mínimo común múltiplo es 16.
Saludos.
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Perdona por mi pesadez pero no entiendo por qué en el apartado 4*(27/64) no seria 108/64 en lugar de 27/16
¿Los múltiplos no seriam 64, 16 y 4?
Saludos y de nuevo gracias.
Si, pero yo me permití hacer antes la simplificación aunque no la escribí:
$$\begin{align}&4·\frac{27}{64}\\&\\&\text{La forma más larga de calcularlo es:}\\&\\&4·\frac{27}{64} = \frac{4·27}{64}= \frac{108}{64}=\\&\\&\text{Y ahora dividimos por 4 numerador y denominador}\\&\\&= \frac{27}{16}\\&\\&\text{Mientras que la forma más óptima es:}\\&\\&4·\frac{27}{64} = \frac{4·27}{64}=\\&\\&\text{Y en vez de multiplicar simplificamos dividiendo por 4}\\&\\&\frac{1·27}{16}=\frac{27}{16}\end{align}$$Siempre que puedas simplificar las fracciones antes de hacer la suma, hazlo, será todo mucho más fácil.
Saludos.
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Perfecto, ahora sí lo entiendo, gracias por tu ayuda tan desinteresada, saludos.
He dicho que siempre y eso puede no ser cierto, a veces no conviene simplificar antes, pero eso se aprende con la práctica.
