Cómo calcular el número complejo perpendicular al número (1+3i)

Sabemos que:

$$\begin{align}&\cos \alpha = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}\\&\text{Para que los vectores sean perpendiculares, debe ocurrir que }\cos \alpha = 0\\&Sean\\&u = 1 + 3i\\&v = a + bi\\&0 = \frac{1\cdot a + 3 \cdot b}{\sqrt{1^2+3^2}+\sqrt{a^2+b^2}}\\&0 = a + 3b \to a = -3b ...... (1)\\&\text{En principio hay infinitos complejos perpendiculares al dado, }\\&\text{pero supongo que lo que planteas es que tenga el mismo módulo}\\&|u| = |v|\\&\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{a^2+b^2}\\&\sqrt{10}=\sqrt{a^2+b^2}\\&10 = a^2+b^2...(2)\\&Reemplazando\ (1)\ en \ (2)\\&10 = (-3b)^2+b^2\\&10 = 9b^2+b^2= 10b^2\\&b^2 = 1\\&b= \pm 1 \to a = \mp3\\&\therefore\\&\text{Hay dos vectores}\\&z_1 = 3 - i\\&z_2 = -3 + i\end{align}$$

Y eso es todo...creo que de este ejercicio podés llegar a deducir tu pregunta acerca de la rotación de los vectores.

Te dejo la imagen de los vectores, sobre la recta punteada estarían los infinitos vectores perpendiculares a z, si no ponemos la restricción del módulo

Pues tiene mucha razón la profe, yo no lo había pensado. Cuando multiplicas dos números complejos lo que hace es multiplicar los módulos y sumar los ángulos. Entonces cuando multiplicas por i multiplicas el módulo del otro por 1 con los cual queda con el mismo y sumas 90º a los que tenía, con lo cual obtienes el perpendicular.

Asimismo entonces para 180º multiplicas por (-1) y para 270º multiplicas por (-i). Muy bueno el método.

Saludos.

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