Halla dos números complejos conjugados cuyo cociente sea un imaginario puro y su diferencia sea 4i.

Lo que yo haría sería,

Tengo un número complejo

$$\begin{align}&a+bi\\&\end{align}$$

por lo tanto su conjugado será

$$\begin{align}&a-bi\end{align}$$

Una de las condiciones es que su cociente sea un número imaginario puro, es decir,

$$\begin{align}&Re(a+bi/a-bi)=0\end{align}$$

Luego

$$\begin{align}&\frac{a+bi}{a-bi}=\frac{(a+bi)(a+bi)}{(a-bi)(a+bi)}=\frac{(a+bi)^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2-b^2+2abi}{a^2+b^2}\\&\\&\end{align}$$

Por lo tanto la parte real igualada a cero nos queda

$$\begin{align}&\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=0\\&a^2-b^2=0\\&a^2=b^2\end{align}$$

Imponemos la otra condición que es que la diferencia sea 4i, entonces

$$\begin{align}&a+bi-(a-bi)=2bi=4i\\&b=2\end{align}$$

Y por lo tanto los números que buscábamos son

2+2i y 2-2i

·

·

¡Hola Juana!

Serán a+bi, a-bi

Primero hacemos que la diferencia sea 4i

a - a + (b+b)i = 4i

2b = 4

b=2

Y ahora el cociente. 

$$\begin{align}&\frac{a+2i}{a-2i}=\\&\\&\text{Multiplicamos y dividimos por el }\\&\text{conjugado del denominador}\\&\\&=\frac{(a+2i)(a+2i)}{(a-2i)(a+2i)]}=\\&\\&\frac{a^2+4ai+4i^2}{a^2-4i^2}=\\&\\&\frac{a^2-4+4ai}{a^+4}\\&\\&\text{Como la parte real debe ser 0}\\&\\&a^2-4=0\\&a^2=4\\&a=\pm2\\&\\&\text {luego hay dos respuestas}\\&\\&1)\qquad 2 +2i,\qquad 2-2i\\&2)\quad -2+2i,\quad-2-2i\end{align}$$

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