Calculo perímetro y área de un Pentágono regular inscrito en circunferencia de radio 6

No, lo puedes hacer pero tendrías que trabajar con decimales y redondear

·

·

¡Hola Juana!

Tenemos que calcular la longitud de un lado, para ello primero calculamos cuántos grados de la curcunferencia corresponden a ese lado.

Como es un pentágono a cada lado le corresponde un sector de

360º / 5 = 72º

Seguidamente ponemos ese lado sobre la circunferencia a la derecha en vertical, de modo que quedan 36º por arriba del eje X y 36º por debajo.

La mitad del lado es el radio por el seno de 36º, luego el lado mide

2R·sen36º

como R=6

12·sen36º

Y como son 5 lados es

P=60·sen36º

Hace un momento calcule el sen 36º

$$\begin{align}&P = 60·\frac{\sqrt{10-2 \sqrt 5}}{4}=15·\sqrt{10-2 \sqrt 5}\end{align}$$

El area es perímetro por apotema entre 2

A = P·a/2

El apotema es la altura de cada uno de los 5 triángulos que se forman. Tal como colocamos antes el lado para conocer su longitus tenemos que el apotema es el radio por por cos36º. Con elllo será:

$$\begin{align}&A= \frac{P·a}{2}= \frac{15·\sqrt{10-2 \sqrt 5}·6·\frac{\sqrt 5 +1}{4}}{2}=\\&\\&\frac{90}{8}\sqrt{10-2 \sqrt 5}·(\sqrt 5 +1)=\\&\\&\text{para meter el segundo factor dentro de la raíz}\\&\text{hay que elvarlo al cuadrado}\\&\\&=\frac{45}{4}\sqrt{(10-2 \sqrt 5)(\sqrt 5+1)^2}=\\&\\&\frac{45}{4} \sqrt{(10-2 \sqrt 5)(5+2 \sqrt 5+1)}=\\&\\&\frac{45}{4}  \sqrt{(10-2 \sqrt 5)(6+2 \sqrt 5)}=\\&\\&\frac{45}{4} \sqrt{60+ 20 \sqrt 5-12 \sqrt 5-20}=\\&\\&\frac{45}{4} \sqrt {40+8 \sqrt 5}=\\&\\&\frac{45}{4}·2 \sqrt {10+2 \sqrt 5}=\\&\\&\frac{45}{2} \sqrt{10+2 \sqrt 5}\end{align}$$

.
: