Como resolver problema de Distribucion Exponencial-estadistica

Me había liado con lo de tener que usar la exponencial, es cierto que el problema se puede resolver con la distribución Gamma, pero no es menos cierto que este problema se resuelve con la distribución de Poisson.

a)

En 2 horas hay 120 minutos, luego se espera atender a 120/15 = 8 pacientes. Tomaremos una Poisson con parámetro 8.

Pero lo malo es que nos piden muchos cálculos

$$\begin{align}&P(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\\&\\&P(X\ge 10)=1-e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{9} \frac{\lambda^k}{k!}\\&\\&P(X\ge 10) = 1-e^{-8}\sum_{i=0}^9 \frac {8^k}{k!}=\\&\\&1-e^{-8}\left(1+8+\frac{64}{2}+\frac{8^3}{6}+\frac{8^4}{24}+\frac{8^5}{120}+...+\frac {8^9}{9!}  \right)=\\&\\&0.2833757413\end{align}$$

Si no lo hacéis así, que han sido muchas cuentas, dime si lo hacéis con aproximación por una normal, o usando programas de estadística.

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b)

Ahora son 8 pacientes en 90 minutos. Al ritmo de uno cada 5 minutos se podrían atender de media 6, luego planteamos la Poisson de parámetro 6

$$\begin{align}&P(X<=8)=e^{-6}\sum_{i=0}^8 \frac{6^i}{i!}=\\&\\&e^{-6}\left(1+6+\frac {36}{2}+\frac{216}{6}+\frac{6^4}{24}+\frac{6^5}{120}+\frac{6^6}{720}+\frac{6^7}{5040}+\frac{6^8}{8!}  \right)=\\&\\&0.847237494\end{align}$$

De nuevo me lo dices si utulizáis otro método

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c)

Este se resuelve con la función de probabilidad de la exponencial

$$\begin{align}&P(X\le x)=1- e^{-\lambda x} \qquad \text {donde }\lambda=\frac{1}{E(X)}= \frac 1{15}\\&\\&P(X\ge 30)=1-P(X\le 30)= 1-(1-e^{-\frac 1{15}·30})=\\&\\&e^{-2}= 0.1353352832\\&\\&\\&\text{d) 2 horas son 120 min}\\&\\&P(X\ge 120)=1-P(X\le 120)= 1-(1-e^{-\frac 1{15}·120})=\\&\\&e^{-8}= 0.0003354626279\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si usáis otro método para los dos primeros me lo dices.  Y sube la puntuación, no haré problemas largos ni ningún problema si no se vota excelente.

Saludos.

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