Calcule el volumen del tetraedro regular.Si: PQ=√3

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¡Hola Mizuki!

Este ejercicio puede ir sobre ruedas o pueee ser un infierno. Todo depende de lo que te hayan enseñado.

Si te han enseñado que PQ = h/3 podrás ir deduciendo:

PQ = h/3

h = 3PQ = 3√3

ojo esta h es la altura del triángulo

Entonces el lado del triángulo es la hipotenusa. Aplicando Pitágoras (o trigonometría) llamemos a a la arista

$$\begin{align}&\left(\frac a2\right)^2+(3 \sqrt 3)^2=a^2\\&\\&\frac{a^2}{4}+27=a^2\\&\\&\frac 34 a^2=27\\&\\&a^2 = 36\\&\\&a=6\\&\\&\text{El área de la base será}\\&\\&A_b=\frac {6·3 \sqrt 3}2=9 \sqrt 3\\&\\&\text{Y ahora hay que calcular la altura del tetraedro}\\&\text{Para no confundirla la llamaré H}\\&\\&\text{H, OQ y a forman un triángulo rectángulo}\\&\text{de nuevo te doy un resultado  }\quad OP=\frac h3\\&\\&OQ=\frac h3 + \frac h3 = \frac {2h}3= \frac{2·3 \sqrt 3}{3}=2 \sqrt 3\\&\\&\text{Por Pitágoras}\\&H^2+(2 \sqrt 3)^2 = 6^2\\&\\&H^2=36-12=24\\&\\&H=\sqrt {24}=2 \sqrt 6\\&\\&\text{Y el volumen será}\\&\\&V= \frac 13 A_b·H =\frac 13·9 \sqrt 3·\sqrt 6=6 \sqrt{3}\sqrt {2·3}=\\&\\&6·\sqrt{2·3^2}= 6·3 \sqrt 2=18 \sqrt 2\end{align}$$

Luego la respuesta del ejercicio 6 es la c)

Y la respuestsa del 7 será 4 veces el area de la base

A = 4· 9√3 = 36√3

la e)

Y eso es todo.  Si acaso quisieras saber por qué OP=OQ= h/3 mándalo en otra pregunta.

Saludos.

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