Como resolver el problema de ecuaciones diferenciales.

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¡Hola Juna!

Primero calculamos los galones que hay en cada instante. Cada minuto se rellenan 5, luego

L(t) = 500 + 5t - 10t = 500-5t

Sea S(t) la cantidad de sal, la cantidad de sal por galón será

S(t)/(500-5t) libras/galón

La cantidad de sal nueva sera:

5 galones/minuto · 2 libras / galón = 10 libras / minuto

La cantidad de sal que se perderá es:

10 galones /minuto · S(t)/(500-5t) libras/galón =

10·S(t)/(500-5t) libras / minuto=

2·S(t) / (100 - t) libras / minuto

De esta forma en el instante t+h la cantidad de sal es

$$\begin{align}&S(t+h) = S(t)+ \left(10-\frac{2S(t)}{100-t}\right)h\\&\\&\frac{S(t+h)-S(t)}{dt}=10-\frac{2S(t)}{100-t}\\&\\&\lim_{dt\to 0}\frac{S(t+h)-S(t)}{dt}=10-\frac{2S(t)}{100-t}\\&\\&\text{Lo de la izquierda es la derivada de }S(t)\\&\\&S'(t) =10-\frac{2S(t)}{100-t}\\&\\&\text{El mínimo se produce cuando }S'(t)=0\\&\text{Y nos dicen que es a los 20 minutos}\\&\\&S'(20)=0\implies10-\frac{2S(20)}{100-20}=0\\&\\&\frac{2 S(20)}{80}=10\\&\\&S(20)=400\, libras\\&\\&\text{Para calcular S(t) hay que resolver una ecuación diferencial}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Yo no sé qué nivel estás estudiando , pero la ecuación diferencial no es de estas separables que cualquiera puede resolver.

Dime si has dado ya ecuaciones diferenciales lineales.

Saludos.

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si claro ya hemos visto ecuaciones diferenciales de primer orden. 

Pues lo que tenemos que resolver es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

$$\begin{align}&S'=10-\frac{2S}{100-t}\\&\\&\text{En los libros aparece como:}\\&\\&\frac{dy}{dx}+P(x)·y=Q(x)\\&\\&\text{Siendo S la función y t la variable dependiente}\\&\\&S'=P(t)·S=Q(t)\\&\\&S' + \frac{2}{100-t}S= 10\\&\\&\text{Se resuelve haciendo }\\&S=u(t)·v(t)\\&\\&\text{Y los cálculos son estos, para v:}\\&\\&v(t) =e^{-\int P(t)\;dt}\\&\\&v(t)=e^{-\int \frac{2}{100-t}dt}=e^{2ln(100-t)}=e^{ln[(100-t)^2]}=(100-t)^2\\&\\&\text{Y el cálculo para u es:}\\&\\&u(t)=\int \frac{Q(t)}{v(t)}dt+C\\&\\&u(t)=\int \frac{10}{(100-t)^2}dt +C = \frac{10}{100-t}+C\\&\\&\text {Luego }\\&\\&S(t) = u(t)·v(t)=\left(\frac{10}{100-t}+C\right)·(100-t)^2=\\&\\&10(100-t)+C(100-t)^2=\\&\\&1000-10t +C(100-t)^2\\&\\&\text{Y para calcular C tendremos en cuenta esa valor que }\\&\text{calulamos al principio}\\&\\&S(20)=400\; libras\\&\\&S(20) = 1000 - 10·20+C(100-20)^2 = 400\\&\\&800+6400C = 400\\&\\&C= -\frac {400}{6400}=-\frac 1{16}\\&\\&\text {Con ello la función S específica es}\\&\\&S(t)=1000-10t -\frac{(100-t)^2}{16}\\&\\&\text{Y la sal inicial es la de t=0}\\&\\&S(0)=1000-\frac{10000}{16}=\frac{16000-1000}{16}=375 \,libras\\&\\&\end{align}$$

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Tuve un pequeño despiste en una parte donde empecé usando dt, luego lo cambié a h (que es lo que se suele poner en la definición de derivada) y se me olvido cambiar todos los dt, esta es esa parte bien escrita:

$$\begin{align}&S(t+h) = S(t)+ \left(10-\frac{2S(t)}{100-t}\right)h\\&\\&\frac{S(t+h)-S(t)}{h}=10-\frac{2S(t)}{100-t}\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{S(t+h)-S(t)}{h}=10-\frac{2S(t)}{100-t}\\&\\&\text{Lo de la izquierda es la derivada de }S(t)\\&\\&S'(t) =10-\frac{2S(t)}{100-t}\end{align}$$