Problema de calculo, integrales trigonométricas

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¡Hola Juan!

Espero que salga fácil porque algunas trigonométricas no hay quien las resuelva.

$$\begin{align}&\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+9}}dx=\\&\\&\text{tal como está el radicando el cambio teórico es}\\&\\&x=3 tg\, t \implies t=arctg \frac x3\\&dx=3sec^2t\;dt\\&\\&=\int \frac{27\,tg^3t}{\sqrt{9tg^2t+9}}·3sec^2t\;dt=\\&\\&81\int \frac{tg^3t·sec^2t}{3 \sqrt{tg^2t+1}}dt\\&\\&\text{Sabemos que }1+tg^2t = sec^2t=\\&\\&27 \int tg^3t ·sec\,t  \;dt= 27\int \frac{sen^3t}{\cos^4t}dt=\\&\\&27\int \frac{(1-\cos^2t)·sent}{\cos^4t}dt=\\&\\&u=\cos t\\&du=-sen\,t\,dt\\&\\&=-27\int \frac{1-u^2}{u^4}dt=\\&\\&-27\left(\frac{u^{-3}}{-3}+\frac{u^{-1}}{-1}  \right)+C=\\&\\&27\left(\frac{1}{3u^3}-\frac 1{u}  \right)+C=\\&\\&27\left(\frac 1{3 \cos^3t}-\frac{1}{\cos t}  \right)+C=\\&\\&Como\quad tg\,t= \frac x3\implies cost = \frac{3}{\sqrt{9+x^2}}\\&\\&=27\left(\frac 1{\frac{81}{(9+x^2)\sqrt{9+x^2}}}-\frac 1{\frac{3}{\sqrt{9+x^2}}}  \right)+C=\\&\\&\frac{(9+x^2)\sqrt{9+x^2}}{3}-9 \sqrt{9+x^2}+C=\\&\\&\frac{(9+x^2)\sqrt{9+x^2}-27 \sqrt{9+x^2}}{3}+C=\\&\\&\frac{(x^2-18)\sqrt{9+x^2}}{3}+C\end{align}$$

Se me atravesó y me ha costado mucho, pero esa es.

Y eso es todo, no olvides puntuar.

Saludos.

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