Trigonométrica ¿Cuanto es x? Cos² x + 1/4 = (1/2 + sen x)²

A ver si llegamos a algo...

$$\begin{align}&\cos^2x+1/4 = (1/2 + sen x)^2\\&\cos^2x+1/4 = 1/4 + sen x+sen^2x\\&\cos^2x=sen x+sen^2x\\&\cos^2x-sen^2 x=sen x\\&1-sen^2x-sen^2 x=sen x\\&1-2sen^2x-sen x=0\\&Acomodando \ términos\\&-2sen^2x-sen x+1=0\\&\text{Cambio de variables (sen x = y)}\\&-2y^2-y+1=0\\&y_1=-1\\&y_2 = 0.5\\&o\ sea\\&sen x = -1 \Rightarrow x = 3/2 \pi + 2k \pi  \ (k \in Z)\\&sen x = 0.5 \Rightarrow x = \pi/6 + 2k \pi  \ (k \in Z)\\&\text{O expresado en grados sexagesimales}\\&x=270° + 360° k\\&x=30° + 360° k\\&\text{Verifico la igualdad inicial: }\cos^2x+1/4 = (1/2 + sen x)^2\\&x=270°\\&\cos^2(270°)+1/4 = (1/2 + sen (270°))^2\\&1/4 = (-1/2) ^2 = 1/4 \ (VALE!)\\&x=30°\\&\cos^2(30°)+1/4 = (1/2 + sen (30°))^2\\&(\sqrt{3}/2)^2+1/4 = (1/2 + 0.5)^2\\&3/4+1/4 = (1)^2\\&1=1 (VALE!)\end{align}$$

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¡Hola Kolpo!

Veamos:

$$\begin{align}&\cos² x + \frac 14 = \left(\frac 12 + sen x\right)^2\\&\\&\cos² x + \frac 14 = \frac 14 + sen x +sen^2x\\&\\&\cos² x = sen x +sen^2x\\&\\&\text{Por la identidad fundamental}\\&\\&1-sen^2x = senx +sen^2x\\&\\&2sen^2x+senx -1 = 0\\&\\&\text{Es una ecuación de 2º grado con incógnita }senx \\&\\&senx=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}=-1\quad y \quad \frac 12\\&\\&\text{Hay tres respuestas en la primera vuelta y luego}\\&\text{sus equivlentes en todas las vueltas}\\&\\&x_1=270º+k·360º = \frac {3pi}{2}+2k\pi\; rads\\&\\&x_2=30º + k·360º = \frac {\pi }{6}+ 2k\pi \;rads\\&\\&x_3=150º + k·360=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\&\\&\forall k \in \mathbb Z\\&\end{align}$$

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