1. Halle la ecuación que resulta al girar 45° la ecuación XY=1
- Halle la ecuación que resulta al girar 45° la ecuación XY=1
- Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
- Una persona se encuentra en la cima de una colina y dispara un dardo con una pistola. La trayectoria descrita por el dardo está dada por la ecuación donde t es el tiempo en segundos h (t) es la altura que alcanza el dardo medida en metros, calcule:
- Altura de la colina
- Altura máxima que alcanza el dardo
- Tiempo en que alcanza la altura máxima
- En cuanto tiempo choca contra el piso
- A que distancia horizontal cae el dardo respecto de la persona que lo lanzó
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¡Hola Lola!
Yo haré el primero. Se supone que giramos respecto al origen, punto (0,0)
Primero veamos a dónde va a parar un punto (x, y) cualquiera.
Si ponemos ese punto en coordenadas polares serán:
$$\begin{align}&r = \sqrt{x^2+y^2}\\&\\&\theta= arctg\left(\frac yx\right)\\&\\&\text{al girar 45º sus nuevas coordenadas polares son}\\&\\&r_2= \sqrt{x^2+y^2}\\&\\&\theta_2=arctg\left( \frac yx\right)+45º\\&\\&\text{pasando a cartesianas serán}\\&\\&x_2=\sqrt{x^2+y^2}·\cos\left(arctg\left( \frac yx\right)+45º\right)=\\&\\&\qquad \sqrt{x^2+y^2}·\left[\cos\left( arctg\left( \frac yx\right) \right)·\cos 45º-sen\left( arctg\left( \frac yx\right) \right)·sen45º\right]=\\&\\&tg \alpha=\frac yx\implies \cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad sen\alpha=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\&arctg \frac yx=arccos \frac{x}{\sqrt {x^2+y^2}}=arcsen \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\&\\&\qquad =\sqrt{x^2+y^2}·\left[ \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}·\frac{\sqrt 2}{2}- \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}·\frac{\sqrt 2}{2}\right]=\\&\\&\qquad \frac {\sqrt 2}2(x-y)\\&\\&\\&\\&y_2=\sqrt{x^2+y^2}·sen\left(arctg\left( \frac yx\right)+45º\right)\\&\\&\qquad \sqrt{x^2+y^2}·\left[sen\left( arctg\left( \frac yx\right) \right)·\cos 45º+\cos\left( arctg\left( \frac yx\right) \right)·sen45º\right]=\\&\\&\qquad =\sqrt{x^2+y^2}·\left[ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}·\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}·\frac{\sqrt 2}{2}\right]=\\&\\&\frac{\sqrt 2}{2}(x+y)\\&\\&\text{Resumiendo, la transformación es}\\&\\&(x,y)\to \frac {\sqrt 2}{2}\left(x-y,\; x+y \right)\\&\\&\text{xy=1 tiene los puntos }\left(t, \frac 1t\right)\quad\forall t\in \mathbb R-\{0\}\\&\\&\text{La transformación será}\\&\\&\frac{\sqrt 2}{2}\left(t-\frac 1t,\;t+\frac 1t \right)=\frac{\sqrt 2}{2t}(t^2-1,\;t^2+1)\\&\\&\text{Y yo no sé pasarla a función explícita o implícita}\\&\text{Luego la dejo en paramétricas}\\&\\&x(t)=\frac{\sqrt 2}{2}(t^2-1)\\&y(t)=\pm \frac{\sqrt 2}{2}(t^2+1)\end{align}$$El + y - de y es para que salgan las dos hojas , si no solo saldría la superior
Aquí está la gráfica con un programa que puede graficar implícitas y paramétricas.
Y eso es todo.
Espera que ya veo por donde vienes. Estás estudiando cónicas de esas que pueden tener el eje transversal formando cualquier grado. Primero decirte que girar l cónica no es eqivalente a girar los ejes sino todo lo contrario, son operaciones inversas
Si giras la cónica la transformación es
x' = x·cos(theta) - y·sen(theta)
y' = x·sen(theta) + y·cos(theta)
Si giras los ejes la transformación es:
x' = x·cos(theta) + y·sen(theta)
y' = -x·sen(theta) + y·cos(theta)
Son operaciones inversas, las matrices ortogonales inversas son las transpuestas es una gran suerte a la hora de hacer cálculos.
Por lo tanto un giro de 45º de la cóníca es como un giro de -45º de los ejes.
Llamemos s=sen45º=cos45º para simplificar escritura y recuerdo que el giro de los ejes es -45º
sen(-45º) = -s
cos(-45º) = s
x' = sx - sy
y' = sx + sy
(y')^2 - (x')^2 = (y'+x')(y'-x') = 2sx·2xy = 4s^2·xy =
como xy=1
4s^2 = 4 · (2/4) = 2
Luego la ecuación queda
(y')^2 - (x')^2 = 2
que si queremos ponerla con las variables normales (x, y) es
y^2 - x^2 = 2
en forma canónica
y^2/s^2 - x^2/s^2 = 1
Lo cual es como era lógico una elipse con eje transversal el eje Y y distancia 2·sqrt(2) entre los vértices. Las asíntotas forman 90º como cabía esperar.
Luego lo único que cambia con la otra respuesta que te han dado es el orden de los términos.
Y eso es todo saludos.
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1 respuesta más de otro experto
Aclara todo este enunciado... es incomprensible...
Una persona se encuentra en la cima de una colina y dispara un dardo con una pistola. La trayectoria descrita por el dardo está dada por la ecuación donde t es el tiempo en segundos h (t) es la altura que alcanza el dardo medida en metros, calcule:
1. Altura de la colina
2. Altura máxima que alcanza el dardo
3. Tiempo en que alcanza la altura máxima
4. En cuanto tiempo choca contra el piso
5. A que distancia horizontal cae el dardo respecto de la persona que lo lanzó
Ecuaciones horarias de tu movimiento serian= :
x(t) = xo + vox ( t+to)
y(t)= yo + voy ( t-to) + 0.5 g ( t-to)^2
v(t) = voy + g ( t-to)
(Yo) seria la altura de la colina...( to) lo fijas vos...( vo) y/o (vox) y/o (voy) te lo tienen que dar... ¿de lo contrario no podes obtener nada... me comprendes?
1. Halle la ecuación que resulta al girar 45° la ecuación XY=1
2. Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
Me puedes ayudar con estos dos problemas?
$$\begin{align}&h(t)=-1/4 t^2+10t+8\end{align}$$
Respecto al problema del dardo que se dispara.. ya la respondí en otra consulta de hoy.
Para el tema de la función xy=1 ... aplicar un giro de 45° es equivalente a girar el sistema de ejes yx. O sea podes resolverlo girando el sistema coordenado.
Las nuevas coordenadas respecto del sistema de ejes girados se hallan por intermedio de la matriz de rotación... que no puedo escribirla ... pero desarrollada te estaría dando:
Ahorea .....x'y' =( 0.707 x - 0.707 y) ( 0.707 x + 0.707 y) = 0.50 x^2 - 0.50y^2 = 1
O sea la ecuacion refetida a ejes girados quedaria. = x^2 - y^2 = 1/0.5 = 2
Con lo que te ha desaparecido el termino xy y si lo gráficas te da una hipérbola cuyas asíntotas son las bisectrices del 1°-3° cuadrante y del 2° - 4° cuadrante.
Profe, que programa usa para dibujar? Porque yo uso Geogebra, pero creo que el que usa Ud. deja más claro el resultado. - Anónimo
Pues yo uso Geogebra los días de fiesta, pero para diario uso WinPlot que es un programa con menos posibilidades pero que no ocupa nada, ni siquiera requiere instalación. Pues quería preguntarte una cosa: creo que he visto que dibujas funciones con la variable x, yo cuando uso la orden curve[x(t), y(t), t, li, ls] solo me deja que la variable sea t. ¿Cómo lo haces para que sea x? http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wpsp32z.exe - Valero Angel Serrano Mercadal
Yo para dibujar uso el Geogebra y directamente me da los ejes x,y (de hecho no puedo cambiarlos). Tal vez la diferencia esté en que yo no uso la instrucción curve, sino que directamente grafico la función (tengo instalada la aplicación para ejecutar con el Chrome, y al comenzar a usar me da la opción de crear "Algrebra" y así poder escribir las funciones directamente. Gracias por el archivo! - Anónimo
Pues a lo mejor es algo que han cambiado ahora. Yo tenía el recuerdo de que en la ventanita de introducir datos si introducías una función que no fuera una recta o una cónica no la representaba, por eso usaba Curve para funciones que no fueran de ese tipo y había que definirlas con el parámetro t, pero ahora ya he visto que puedes poner directamente la función y=f(x), mejor. Winplot está bien para hacer gráficas porque tienes explícitas, implícitas, polares y paramétricas. Lo único que no tiene Latex para representar bonito la expresión de las funciones. - Valero Angel Serrano Mercadal