Calcular y graficar el dominio y rango de las siguientes funciones

Son demasiados ejercicios para una sola pregunta, te dejo el ejercicio 1)

a) f(x) = x^2 - 3

Dom: por ser polinomio, el dominio es todos los reales.

Imagen (supongo que es a lo que te refieres con "Rec"). Para esto despejamos "x" en función de "y"

y  = x^2 - 3

y+3 = x^2

x = sqrt{y +3}

La imagen será dondé está definida esta nueva función, o sea y>=-3, o dicho de otro modo

Im = [-3, + Infinito)

b) f(x) = x^2 - 3x + 2

Dominio: vale lo mismo que antes, por lo tanto

Dom = R

Imagen: en este caso voy a usar otra propiedad y es que al ser una parábola, la función tendrá un máximo (o mínimo) absoluto que será cuando la derivada valga cero

f(x) = x^2 - 3x + 2

f'(x) = 2x - 3

f'(x) = 0 Entonces 0 = 2x - 3 

x = 3/2 = 1.5

f''(x) = 2. Como es una constante positiva, f' tiene un mínimo (aunque esto también se podía ver porque el coeficiente que acompaña al término cuadrático es positivo (1) lo cual hace que las ramas de la parábola sean "hacia arriba"

Ya sabemos que el mínimo se da en 1.5, ahora veamos cuanto vale

f(1.5) = (1.5)^2 - 3*1.5 + 2 = -1/4 = - 0.25

Por lo tanto la imagen es

Im = [-0.25, + Inf)

c) f(x) = 1+e^{-3x}

Es una exponencial (continua), sumada a una constante (1, continuo), por lo tanto el dominio es

Dom = R

Imagen:

y = 1+e^{-3x}

y-1  = e^{-3x}

ln(y-1) = -3x

ln(y-1) / (-3) = x

El dominio de esta función (imagen de la anterior) es donde está definido el ln, o sea donde y-1>0 Por lo tanto y>1

Im = (1, + Inf) .....fijate que en este caso, el 1 no está incluido como parte de la imagen

d) f(x) = 5 log(7x)

Dom: el log está definido para los valores positivos, o sea

Dom = (0, + Inf)

y = 5 log (7x)

y/5 = log (7x)

10^{y/5} = 7x

(10^{y/5}) / 7 = x

Es una exponencial dividida por una constante, así que está definida para todos los reales, luego

Im = R

Las gráficas te las dejo todas juntas en un solo gráfico

Nota: considero log el logaritmo en base 10 y ln el logaritmo en base "e"