Probabilidad de ganar a lo menos un premio!

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¡Hola Dante!

Si tu compras n boletos la probabilidad de que este el premiado número 1 es

n/100

Y la de que esté el premiado número 2 es

n/100

Lo que sucede es que si sumas estas dos probabilidades

n/100 + n/100 = n/50

Has sumado dos veces la probabilidad de que estén premiados los dos, luego tienes que restarla una vez. Si has estudiado teoría sabrás que

P(A U B ) = P(A) + P(B) - P (A n B)

La probabilidad de que estén premiados los dos entre los n comprados es el número de casos donde tienes los dos boletos entre todos los posibles. Si tienes los dos premiados las combinaciones son las de las otras 98 bolas en los otros n-2 boletos comprados, mientras que todas las posibles son las combinaciones de 100 tomadas de n en n.

$$\begin{align}&\frac {C_{98}^{\;n-2} }{ C_{100}^{\;n}} =\frac{\frac{98!}{(n-2)!·(100-n)!}}{\frac{100!}{n!(100-n)!}}=\frac{98!·n!}{100!·(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{100·99}\\&\\&\text{Luego la probabilidad de tener un premio al menos es}\\&\\&P=\frac n{50}-\frac{n(n-1)}{100·99}=\frac{198n-n^2+n}{100·99}=\frac{199n-n^2}{9900}\\&\\&\text{Esto n debe ser inferior a }\frac 45\\&\\&\frac{199n-n^2}{9900}\ge \frac 45\\&\\&995n - 5n^2 \ge39600\\&\\&5n^2 -995n+39600 \le 0\\&\\&n^2 -199n +7920 \le0\\&\\&\text{Resolvemos la ecuación}\\&\\&n=\frac{199\pm \sqrt{199^2-4·7920}}{2}=\frac{199\pm \sqrt{7921}}{2}=\\&\\&\frac{199\pm89}{2}= 55\; y\; 144\\&\\&\end{align}$$

Ahora observemos que en la inecuación resuelta

n^2 -199n +7920 <= 0

El miembro izquierdo es una parábola con forma de U ya que el coeficiente director es positivo.

Y por esa forma esta parábola cumplira el ser <= 0 entre las dos raíces halladas, entre 55 y 144. Como n no puede ser mayor de 100 cumpliré entre 55 y 100.

Y el menos número de boletos que cumple es 55.

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