Demostrar en un ejercicio de geometría analítica
Demuestre que las circunferencias son tangentes
$$\begin{align}&x^2+y^2+4x-6y-3=0\\&x^2+y^2-8x-6y+21=0\\&\end{align}$$
Respuesta
1
$$\begin{align}& \end{align}$$Para que sean tangentes, ambas circunferencias deben cortarse en un solo punto, veamos si esto es así:
$$\begin{align}&x^2+y^2+4x-6y-3=0\\&x^2+y^2-8x-6y+21=0\\&\\&x^2+y^2+4x-6y-3=x^2+y^2-8x-6y+21\\&Simplificando...\\&4x-3=-8x+21\\&Operando...\\&12x = 24\\&x = 2\\&\text{Reemplazo en alguna de las ecuaciones dadas (por ejemplo en la primera)}\\&2^2+y^2+4 \cdot 2-6y-3=0\\&y^2-6y+9=0\\&y_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot 1}=\frac{6 \pm \sqrt{0}}{2}\\&\text{y el único valor para y es }y=3\\&\therefore \\&x=2, y=3\\&\text{es el único punto de tangencia}\end{align}$$