Densidad de probabilidad, media y varianza

Primero vamos a verificar si f(x) puede ser una función de densidad, para esto debemos ver que

a) Es siempre positiva (o cero)

b) Su valor acumulado total da 1

Que es siempre positiva, se ve fácil, queda ver cuanto da su valor acumulado.

$$\begin{align}&\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx= \int_{-\infty}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x)dx +\int_{1}^{+\infty} f(x) dx= \\&0 + \int_{0}^{1} f(x)dx +0=\int_{0}^{1} 90x^8(1-x)dx=\int_{0}^{1} 90x^81-90x^9dx=\\&10x^9-9x^{10}\bigg|_0^1=10-9=1\ (Vale!)\\&\\&a)\ \mu=E(x)=\int x f(x)dx = \int_{0}^{1} x(90x^9-90x^{10})dx=\int_{0}^{1} 90x^{10}-90x^{11}dx=\\&90 \frac{x^{11}}{11}-90 \frac{x^{12}}{12}\bigg|_0^1=90(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})=90 \cdot \frac{1}{132}=15/22 \\&\\&b) V(x)=\int (x- \mu)^2  f(x)dx=\int_0^1 (x- \frac{15}{22})^2 (90x^9-90x^{10})dx=\\&90\int_0^1 (x^2-\frac{15x}{11}+\frac{225}{484}) (x^9-x^{10})dx=\\&90\int_0^1 \frac{225}{484}x^9-\frac{885}{484}x^{10}+\frac{26}{11}x^{11}-x^{12}\ dx=\\&90 ( \frac{225}{4840}x^{10}-\frac{885}{5324}x^{11}+\frac{13}{66}x^{12}-\frac{x^{13}}{13}\ ) \bigg|_0^1=90 \cdot \frac{635}{2076360}=\frac{1905}{69212}\end{align}$$

Revisá los números pues pude haber cometido un "dedazo"