No se como realizar este ejercicio en r^3

Esto se puede hacer con vectores o con rectas.

Lo más cómodo es con vectores.

Sean A, B y C los tres puntos de cada apartado. Tres puntos están alineados si construyendo dos vectores cualesquiera con los tres puntos, estos salen proporcionales, ya que esto quiere decir que tienen la misma dirección, con lo cual estarán alineados.

Recuerda que para calcular las componentes de un vector AB se restan las coordenadas del extremo (B) menos las del origen (A)

a) vectAB=B-A=(3,-2,0)-(1,2,-4)=(2,-4,4)

vect AC=C-A=(2,0,-2)-(1,2,-4)=(1,-2,2)

observa que  vectAB=2·vectAC

Luego si están alineados

b) vect AB=B-A=(2,1,4)-(1,1,3)=(1,0,1)

vect AC=C-A=(2,1,5)-(1,1,3)=(1,0,2)

No son proporcionales ya que la última componente de AB es el doblede la de AC y las otras no

c) vect AB=(5,a+3,-2)-(2+a,3,-1)=(3-a,a,-1)

vect AC=C-A=(a,-1,1)-(2+a,3,-1)=(-2,-4,2)

Para que esten alineados han de ser proporcionales:

$$\begin{align}&\vec{AB}= k· \vec{AC}\\&\\&(3-a,a,-1)=k·(-2,-4,2)\\&\\&\Longrightarrow\\&\\&igualando \ cada \ componente \ por \ separado:\\&3-a=-2k\\&a=-4k\\&-1=2k\\&\\&Es\ un \ sistema \ de \ tres \ ecuaciones \ con \ dos \ incógnitas\\&\\&De la 3ª: \Rightarrow k=\frac{-1}{2}\\&Sustituyendo \ en \ la \ 2ª:\\&a=-4k=-4(\frac{-1}{2})=2\\&Comprovando \ en \ la \ 1ª:\\&\\&3-a=?-2k\\&3-2=1\\&-2(\frac{-1}{2})=1\\&cumple\\&\\&Luego\\&\end{align}$$

a=2

Saludos

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¡Hola Ezio!

Hay una formula para saber si tres puntos están alineados. En la práctica equivale a construir la ecuación de la recta que pasa por P1 y P2 y comprobar si P3 está en ella, pero se hace todo de una vez.

$$\begin{align}&\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\\&\\&\text{Si se cumple eso están alineados}\\&P_1(1,2,-4)\\&P_2(3,-2,0)\\&p_3(2,0,-2)\\&\\&\frac{2-1}{3-1}=\frac{0-2}{-2-2}=\frac{-2+4}{0+4}\\&\\&\frac 12 = \frac 12=\frac 12  \text{Están alineados}\\&\\&b)\\&P_1(1,1,3)\\&P_2(2,1,4)\\&P_3(2,1,5)\\&\\&\frac{2-1}{2-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{5-3}{4-3}\\&\\&1=\frac 00=\frac 21\end{align}$$

Se da un 0/0 en y porque todos los puntos tienen la misma coordenada y, entonces se puede prescindir de esa igualdad y tomar solo primera y última que como no son iguales hace que no estén alineados.

Este es el método que me enseñaron a mí, pero me gusta más el método que ha usado Lucas.

c) Usaré el método de los vectores paralelos

PQ = (5, a+3, -2) - (2+a, 3, -1) = (3-a, a, -1)

PR = (a, -1, 1) - (2+a, 3, -1) = (-2, -4, 2)

Para igular la tercera coordenada multiplicamos el vector primero por -2

(-6+2a, -2a, 2) = (-2, -4, 2)

Para igualar la segunda hacemos a=2 veamos si se cumple la primera

-6+2·2 = -2 se cumple

Luego el valor es a=2

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