¿Encontrar Lugar geométrico teniendo un punto?
La pregunta es:
Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje de las Y es igual a su distancia al punto M(5,0). Hallar la ecuación del lugar geométrico.
No entiendo muy bien eso, creo que es aplicando la formula de distancia entre puntos.
1 Respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$·
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¡Hola Zadkiel!
Toma un punto cualquiera genérico del plano
P(x,y)
Debes igualar la distancia de esta punto al eje Y con la distancia al punto M(0,5)
Recuerda que el eje Y es la vertical, ¿cuál es la distancia del punto P? Fácil, es la coordenada por del punto. Pero piensa que podría estar a la izquierda del eje y entonces la distancia sería negativa. Vale, entonces la distancia es |x|
Y la distancia al punto M se hace con la consabida raíz cuadrada de la suma de de cuadrados. Luego la igualdad es esta:
$$\begin{align}&d(P,eje\;Y) =d(P,M(5,0))\\&\\&|x| = \sqrt{(x-5)^2+(y-0)^2}\\&|x| = \sqrt{(x-5)^2+y^2}\\&\\&\text{elevando al cuadrado}\\&\\&x^2 =(x-5)^2+y^2\\&\\&x^2=x^2-10x+25 + y^2\\&\\&0=-10x+25+y^2\\&\\&\text{Y ahora ponlo como quieras}\\&\\&\text{Si haces}\\&\\&x=\frac{y^2}{10}+\frac{25}{10}\\&\\&\text{ves claramente la función de una parabola}\\&\text{con los ejes invertidos}\\&\\&\text {si haces}\\&\\&y^2=10x-25\\&y^2=2·5\left(x-\frac 52\right)\\&\\&\text{es la ecuación canocica de una parábola}\\&\text{con vértice }\left(0,\frac 52\right)\text{ y distancia 5 de foco a la directriz}\end{align}$$Como el vértice es el punto intermedio la directriz es el eje Y y el foco el punto M(5,0).
Si es que no habría hecho falta hacer ninguna cuenta, solo con saber que la parábola es la curva que equidista de un punto y una recta podríamos haber deducido esto.
Esta es la gráfica:
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