Limites para hallar el área de la región acotada por la gráfica de ela función y el eje x
En el intervalo que se indica
y= 27-x^3+3 en [1,3]
Pero porque es usando estas formulas:
ax=b-a/n
xi= a+ideltaX
1 Respuesta
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¡Hola Manzanitta!
Esto es la se llama la suma de Riemann de la función en ese intervalo. Existe la suma izquierda y la derecha ambas deben coincidir al tomar el límite si la función es integrable, lo haremos con la suma izquierda que por definición será
$$\begin{align}&S=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)·\Delta x_i\\&\\&\text {Como los intervalos se toman todos iguales de}\\&\text{longitud }\frac{b-a}n \text{y eso es una constante que puede }\\&\text{salir del sumatorio tenemos}\\&\\&S=\lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\\&\\&\text{y para la función que nos dan es}\\&\\&S=\lim_{n \to \infty} \frac{3-1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\quad .......\\&\end{align}$$Revisa el enunciado, no creo que sea la función
y= 27-x^3+3
Te has debido dejar alguna x
Espero la aclaración.
Saludos
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asi dice el enunciado y= 27-x^3+3 en [1,3]
Esboza la gráfica y usa limites para hallar el área de región acotada por la gráfica de la función y el eje POR en el intervalo que se indica
Y con este si se puede:
Y=x^2+2 en [0,1]
Gracias de antemano ;)
Seguramente falta una x o x^2 en algún sitio, no se pone nunca
y = 27 - x^3 + 3
se pondría
y = 30 - x^3
Haré el segundo, en este caso la suma sería:
$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left(0+\frac i n \right)^2+2 \right)=\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac {i^2} {n^2} +2 \right)=\\&\\&\lim_{n\to \infty} \frac 1n\left (2n+ \frac 1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1}i^2 \right)=\\&\\&2+\lim_{n\to \infty} \frac 1{n^3}\sum_{i=0}^{n-1}i^2=\\&\\&\text{Es necesario saber la formula de la suma de cuadrados}\\&\\&\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&\\&\text{adaptandola al sumatorio que tenemos quedará}\\&\\&= 2 +\lim_{n\to \infty} \frac 1{n^3}·\frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}=\\&\\&2 +\lim_{n\to \infty} \frac 1{n^3}·\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\\&\\&2 +\lim_{n\to \infty} \frac 1{n^3}·\frac{2n^3-n^2-2n^2+n}{6}=\\&\\&2+\lim_{n\to \infty} \frac{2n^3-3n^2+n}{6n^3}=\\&\\&2+\lim_{n\to \infty} \left(\frac 26-\frac{3}{6n} +\frac{1}{6n^2} \right)=\\&\\&2+\frac 26-0+0=2+\frac 13=\frac 73\end{align}$$--
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