Hallar punto de tangencia a una superficie
Una recta tangente a la superficie S de ecuación
$$\begin{align}&z= raiz (9x^2+ 4 y^2) \end{align}$$esta contenida en el plano de ecuacion x=1 y tiene una pendiente igual a 8/5.
Encuentre las coordenadas del punto de tangencia.
1 Respuesta
·
Si la recta tangente está contenida en el plano x=1 no lo queda más remedio al punto de tangencia que tener coordenada x=1. Y a la tangente no le queda más remedio que ser una tangente al curva que se obtiene cortando la curva con el plano x=1.
Por lo tanto es la tangente a la curva
z=sqrt(9·1^2+4y^2)
z=sqrt(9+4y^2)
En el espacio no se puede hablar de pendiente en la misma forma que el plano, pero voy a entender que por pendiente quieren decir la que forma ahora el par de coordenadas (y, z), es decir z/y
Hacemos la derivada
$$\begin{align}&z' = \frac{4y}{\sqrt{9+4y^2}}\\&\\&\text{y la igualamos al valor que nos dan}\\&\\&\frac{4y}{\sqrt{9+4y^2}}=\frac 85\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&\frac{16y^2}{9+4y^2}= \frac{64}{25}\\&\\&400y^2=576+256y^2\\&\\&144y^2=576\\&\\&y^2=\frac{576}{144}=4\\&\\&y=\pm2\\&\\&\text{Pero vemos que la respuesta y=-2 no vale}\\&\text{pues no satisface la ecuación original}\\&\\&\frac{4y}{\sqrt{9+4y^2}}=\frac 85\\&\\&\text{Es la típica respuesta fantasma que aparece}\\&\text{al elevar al cuadrado para resolver}\\&\\&\text{Luevo es }y=2\\&\\&\text{Y conociendo x [e/y] y calculamos z}\\&\\&z=\sqrt{9·1^2+4·2^2}=\sqrt{9+16}=5\\&\\&\text{luego el punto de tangencia es:}\\&\\&(1,2,5)\end{align}$$Nota: Lo de
"Y conociendo x [e/y] y calculamos z"
Tiene su explicación. En españa diríamos "equis e igriega" y en América "equis y ye" por eso dejé a elección la conjunción a utilizar.
·
Y ya terminé, espero que te sriva y lo hayas entendido.
Saludos.
-----------------
---------
---
