Calculo de varias variables 2, tengo duda en ¿Toda función es continua?
Responde cada pregunta. No basta una respuesta de
Cierto o falso. En caso de que tu respuesta sea falsa debes dar un contra ejemplo:
a) Toda función derivable es continua
b)Toda función continua es derivable
c)Si f(x) es una función real continua en Reales tal que f(x_0)=x_0 para x_0 pertenece a R, entonces f´(x_0)=1.
d)Existe alfa pertenece (-1,1) con f´(alfa)=0 para f(x)= x+1/x .
e)La ecuación e^x=1+x tiene una única raíz real.
1 Respuesta
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a)
Es cierto. Hay un teorema que así lo dice, debes tenerlo en tu libro o apuntes.
b)
Es falso. La función tipica de contraejemplo es el valor absoluto de x en el punto x=0
f(x) = |x|
En el punto x=0 la derivada por la izquierda es -1 y por la derecha es 1, por lo que no es derivable, pero continua sí lo es.
c)
Es falso. Toma por ejemplo la función
f(x)=x^2
f(1) = 1^2 = 1
f'(x) = 2x
f'(1) = 2 que es distinto de 0
d)
Hagamos la derivada
f'(x) = 1 - 1/x^2 = 0
1 = 1/x^2
x^2 =1
x= -1 y 1
Luego no existe, ya que nos dicen el intervalo abierto y por lo tanto -1 y 1 no entran.
e)
Si, tiene una única raíz real.
Toma la función
f(x) = e^x - 1 -x
Los cortes con el eje X son las soluciones de la ecuación que nos dicen.
Calcula la derivada
f'(x) = e^x -1
Si x<0 la derivada es negativa, luego f(x) es estrictamente decreciente.
Si x>0 la derivada es positiva, luego f(x) es estrictamente creciente
Si x=0 hay un mínimo por pasar de decreciente a creciente
Y el valor de la función en 0 es
f(0) = e^0 -1 - 0 = 1 -1 = 0
Luego en 0 tiene una raíz y es el único mínimo relativo de una función continua, luego es el mínimo absoluto, el valor en todos los demás puntos es estrictamente mayor de 0.
·
Y eso es todo.
