El tema es de variable compleja
Expresar los factores de la izquierda en forma exponencial, efectuar las operaciones requeridas y cambiar finalmente a coordenadas rectangulares para probar que:
$$\begin{align}&(a)\ i(1-\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)=2(1+\sqrt{3}i)\\&(b)\ 5i/(2+i)=1+2i\\&(c)\ (1+\sqrt{3}i)^{-10}=2^{-11}(-1+\sqrt{3}i)\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}&\text{Dado un número complejo z con módulo r y}\\&\text{ángulo }\theta \text{ su forma exponencial es}\\&z=re^{i\theta}\\&\\&(a)\quad \ i(1-\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+i)=2(1+\sqrt{3}i)\\&\\&e^{i \frac{\pi}{2}}·2e^{i·arctg (-\sqrt 3)}·2e^{i·arctg(1/\sqrt 3)}=\\&\\&e^{i \frac{\pi}{2}}·2e^{i·\frac{5\pi}{3}}·2e^{i·\frac {\pi}{6}}=\\&\\&4e^{i\pi\left(\frac{3+10+1}{6} \right)}=4e^{i\pi·\frac 73}=\\&\\&\text{restando 2pi al ángulo}\\&\\&=4e^{i\frac \pi3}=\\&\\&\text{y ahora lo pasamos a forma trigonométrica}\\&\\&=4\left(\cos \frac {\pi}3 +i·sen \frac{\pi}3\right)=\\&\\&4\left(\frac 12+ i·\frac{\sqrt 3}{2} \right)=\\&\\&2(1+i \sqrt 3)\end{align}$$Luego es verda que se cumple el primero.
Por favor, no son ejercicios inmediatos, manda cada uno en una pregunta.
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