Duda de aplicación de la derivada dada la siguiente función, muestre que f´(0)=f"(0)

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En todos los puntos salvo en x=0 la derivada se calcula de una manera sencilla mediante el uso de la fórmula de la derivada de una función x^n. En x=0 calcularemos la derivada izquierda derivando -x^4 y la derecha derivando x^4

f'(x-) = -4x^3   ==> f'(0-) = 0

f'(x+) = 4x^3   ==> f'(0+) = 0

Coinciden, luego f'(0) = 0

Para la derivada segunda se tiene que volver a hcer lo mismo ya que la derivada primera es una función por la izquierda y otra distinta por la derecha

f''(x-) = -12x^2   ==> f''(0-) = 0

f''(x+) = 12 x^2  ==> f''(0+) = 0

Como coinciden, f''(0) = 0

Y vuelta a hacer lo mismo con la tercera

f'''(x-) = -24x  ==> f'''(0-) = 0

f'''(x+) = 24x  ==> f'''(0+)= 0

Luego f'''(0) = 0

Y por fin vamos con la 4 derivada

f''''(x-) = -24   ==>  f''''(0) = -24

f''''(x+) = 24   ==>  f''''(0) =  24

Y aquí las derivadas laterales son distintas, por lo tanto no existe la derivada cuarta en x=0.

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Y eso es todo.