Demostrar que ∑ superindice n, subindice i =1 (2i-1)=n^2.

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Entonces creo que quieres decir.

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n(2i-1)=n^2\end{align}$$

Es de sobras conocido que los cuadrados se obtienen sumando los numeros impares.  La demostración deberá ser por inducción supongo.   Eso supone demostrar estas dos cosas

1) Se cumple para 1

2) Si se cumple para n entonces se cumple para n+1

Lo primero es una simple comprobación, para n=1 el sumatorio tiene un solo sumando cuyo valor es 1 y 1=1^2

Para lo segundo supongamos que se cumple para n

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^{n+1}(2i-1) = \sum_{i=1}^{n}(2i-1) + 2(n+1)-1=\\&\\&n^2+2(n+1)-1 =n^2+2n+2-1=\\&\\&n^2+2n+1 =(n+1)^2\end{align}$$

Luego es verdad.

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Y eso es todo.