Argumenta con todo cuidado la validez de cada una de las siguientes afirmaciones, construye un gráfico que ilustre el problema,
a) Dada una función sobreyectiva f :[0, 1] sólo si [0, 1] tal que f(x) es continua en [0, 1], existe x0 que pertenece a [0, 1] tal que f(x0) = x0.
b) Dada la función f: R solo si R
f(x) = x^2 si x pertenece a Q
0 si x no pertenece a Q
f(x) es continua en x0 = 0
·
a) Es verdadero.
Si f(0) = 0 ya está
Si f(1) = 1 ya está
Si no pasa ninguna de las dos cosas
Tomemos la función
g(x) = f(x) - x
Es continua porque f(x) lo es y la función x también los es y la suma o resta de funciones continuas es continua.
g(0) = f(0)-0 = f(0) luego g(0) > 0
g(1) = f(1) - 1 y como se cumplía f(1)<1 tenemos
f(1) <1 ==> f(1)-1 < 0 ==> g(1) <0
Luego la función g es continua y g(0)>0 , g(1) <0
Por el teorema de Bolzano existirá un x0 en (0,1) tal que
g(x0) = 0
y eso significa que
f(x0) - x0 = 0
f(x0) = x0
Y eso es todo.
¡Ah, se me olvidó hacer el segundo ejercicio! Es que tienen entidad suficiente para que cada uno vaya en una pregunta distinta. Si quieres mándalo en una pregunta nueva.
