Un subconjunto de los vectores con entradas racionales que también es denso en R^2
Hay que demostrar que el conjunto B es denso en R = [0,1]x[0,1], donde B se construye de la siguiente manera:
Dado q fijo en los enteros positivos, definimos:
Bq = {(x,y); x = p/q, y = m/q, fracciones irreducibles y q distinto de cero, m,n,p enteros positivos}
B = unión (de 1 a infinito) de los Bq,
Entiendo que cada Bq es el conjunto de todas las parejas en el plano con las dos entradas racionales y con igual denominador q.
Y B no es igual a (QxQ) intersección R, pues (1/2, 2/3) no está en esa intersección. Así que B es un subconjunto de (QxQ) intersección R.
Se me ocurre suponer que B no es denso en R, entonces existe (a, b) en R, y existe E>0, tal que la bola con centro en (a, b) y radio E no tiene ningún punto de B.
Si E fuera mayor que 1, podemos tomar la bola con radio E' < 1 que estará contenida en la bola de radio E y tampoco tiene puntos de B.
Proyectando la bola a los ejes, tendría que todo racional en (a-E', a+E') debería tener denominador distinto a todo racional en (b-E', b+E').
Eso significa que si p/q está en (a-E', a+E'), entonces para todo m en los naturales, el racional m/q no está en (b-E', b+E'), entonces |m/q - b| >= E', entonces:
-E' >= m/q - b o m/q - b >= E'
b-E' >=m/q o m/q >= E' - b, como E'< 1, m/q >= E' - 1 < 0
q(b-E') >= m o 0 < m/q < 0
Entonces los naturales son acotados, o todo racional con denominador igual a q es cero. En ambos casos se llega a una contradicción.
Me entra la duda si está bien lo que hice, y también de si no habría otra forma más sencilla y/o corta de hacerlo.
