Demostrar que limite f(x) si y solo si

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Hay una errata en el enunciado, es:

$$\begin{align}&\lim _{x\to x_0}f\left(x\right)=L\iff\lim_{h \to 0}f(x_o+h) = L\\&\\&\text {pasamos a demostrarlo}\\&\\&Dado\; \epsilon \gt 0 \; \exists\;\delta/\forall x \in Dom f,0\lt|x-x_0|\lt \delta\implies |f(x)-L|\lt \epsilon\\&\\&\text{tomamos ese mismo }\delta \text{, entonces si}\\&\\&0\lt |h-0|\lt \delta\implies 0\lt|h|\lt\delta\implies\\&0\lt|x_0+h -x_0|\lt\delta  \implies\\&\\&\text{ahora  los }x_0+h\text{ juegan el mismo papel que los x de antes, luego} \\&\\&\implies|f(x_0+h)-L|\lt \epsilon\iff \lim_{h\to 0} f(x_0+h)=L\\&\\&----------------------------\\&\\&\text{Y al contrario, si el limite segundo es el que sabemos que existe}\\&\\&Dado\; \epsilon \gt 0 \; \exists\;\delta/\forall x \in Dom f,0\lt|h-0|\lt \delta\implies |f(x_0+h)-L|\lt \epsilon\\&\\&\text {tomando ese mismo } \delta\text{, entonces si}\\&\\&0\lt |x-x_0|\lt \delta\\&\\&\text{sustituyendo } h=x-x_0 \quad\text { en lo de arriba queda }\\&\\&0\lt|x-x_0|\lt\delta  \implies |f(xo+x-x_0)-L|\lt \epsilon\implies\\&\\&|f(x)-L|\lt \epsilon \iff \lim_{x\to x_0}f(x)= L\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, no son cosas sencillas de explicar sin la persona delante.