Ejercicios de aplicación de la integral
Una pelota de golf se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde del techo de un edificio de 384 pies de altura con una velocidad inicial de 32 pies/s. En que instante golpea la pelota el suelo?
2 Respuestas
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Lo de la aplicación del cálculo integral ya lo hice en el ejercicio anterior donde demostré la fórmula del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ahora aquí nos limitaremos a aplicarla.
Supondré que el suelo es el que marca la altura 0, luego el espacio inicial será
y_0 = 384 pies = 384 · 0.3048 = 117.0432m
La velocidad inicial será
v_0 = 32 pies/s = 9.7536 m/s
La aceleracion es
a = -g = -9.8m/s^2
Debemos calcular el instante en que y=0
$$\begin{align}&0=-\frac 12 9.8\,t^2+9.7536t+117.30432\\&\\&\text{No soporto que el coeficiente de }t^2 \text{ sea negativo}\\&\\&4.9t^2 - 9.7536t-117.30432=0\\&\\&t=\frac{9.7536 \pm \sqrt{9.7536^2+4·4.9·117.30432}}{9.8}=\\&\\&\frac{9.7536\pm 48.93155817}{9.8}=\\&\\&\text{vemos que una será negativa, esa no sirve}\\&\\&= 5.98828\, s\end{align}$$·
Y eso es todo.
Considerando la base del edificio como el origen de coordenadas, entonces tenemos que
$$\begin{align}&y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2\\&siendo\\&y_0 = 384 pies\\&v_0 = 32 pies/s\\&g = -32,15 pies/s^2 (\equiv 9,8 m/s^2)\\&Luego\\&y = 384 + 32 t - 16,076 t^2\\&Golpeará\ el\ suelo\ cuando\ y=0\\&0 = 384 + 32 t - 16,076 t^2\\&t_{1,2}=\frac{-32 \pm \sqrt{32^2-4*(-16,076)*384}}{2(-16,076)}\\&t_1 = -3,992 \land t_2=5,983\\&\\&\end{align}$$Obviamente el valor negativo carece de sentido y la respuesta es que tocará el suelo a los 5,983 segundos.