¿Cómo hallar el dominio de la función? En:

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La función arcoseno solo esta definida para valores entre -1 y 1 ya que el seno solo toma esos valores, no habría ningún arco cuyo seno fuera 2 por ejemplo. Luego el argumento de la función debe estar limitado por -1 y 1. Además x no puede valer 1 ya que entonces el denominador del argumento es cero y no estaría definido

$$\begin{align}&-1\le \frac{2x}{1-x}\le 1\quad  \text {con }x\neq 1\\&\\&\text{Hay dos casos}\\&\\&1)\quad Si\quad 1-x\gt0\quad  \text{multiplicamos por 1-x}\\&\text{consevando los signos}\\&\\&-1+x \le2x\le 1-x\\&\\&\text{de la desigualdad izquierda}\\&-1+x\le 2x\\&-1\le 2x\\&x\ge -\frac 12\\&\\&\text{de la derecha}\\&2x\le1-x\\&3x\le1\\&x\le \frac 13\\&\\&x\in\bigg[-\frac 12,\frac 13  \bigg]\\&\\&\text{Pero también debe cumplirse la hiṕotesis}\\&1-x\gt0\\&1\gt x\\&x\lt 1\\&\\&\text{se cumple, luego }x\in\bigg[-\frac 12,\frac 13  \bigg]\\&\\&\\&2)  \quad \text{Si } 1-x \lt0\quad \text{multiplicamos por 1-x}\\&\text{pero las desigualdades cambian}\\&\\&-1+x\ge 2x\ge1-x\\&\\&\text{y los resultados son los mismos con las }\\&\text{desigualdades contrarias}\\&x\le -\frac 12\\&x\ge \frac 13\\&\\&\text{Ningún número puede cumplir esas dos}\\&\text{condiciones a la vez, el caso 2 no}\\&\text{aporta soluciones}\\&\\&\text{Luego el dominio es}\\&\\&Dom f=\bigg[-\frac 12,\frac 13  \bigg]\end{align}$$

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Y eso es todo.

¡Gracias!  profesor hasta una nueva oportunidad, le estoy muy agradecida

Buenas noches, no se que esta pasando con ustedes nuevamente que no me están respondiendo, me gustsn sus repuestas, de los ejercicios que me envían pero, no se que esta pasando ahorita