Como demostrar por el teorema de la funciòn inversa que la derivada de arcsen(x) = 1/√1-x^2 ?
La fòrmula del teorema de la funciòn inversa es 1/ f'(f^-1(x)). Si reemplazo me queda:
derivada de senx = cosx
la inversa de senx = 1/ senx
entonces:
1/ f'(f^-1(x))
1/(cos(1/senx))
Bueno, se lo que me tiene que dar :1/√1-x^2, pero no se como transformar esto: 1/(cos(1/senx)) en esto :1/√1-x^2.
2 respuestas
Respuesta de Vicente Ochoa
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Te lo explicó fácilmente las letras lían D arc sen (alfa)= 1/D sen(alfa)= 1/cos(alfa) sabemos que cos (alfa) =raíz( 1- sen^2 (alfa) y llamamos sen(alfa)=X Y queda 1/ (1-X^2)^1/2
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Has tenido una confusión entre función inversa y el inverso de un número bajo la multiplicación. La función inversa de la función seno no es 1/seno sino el arcoseno.
$$\begin{align}&\text{El teorema dice}\\&\\&\left(f^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{f'(y)}\\&\\&tomamos\\&\\&y=arcsen \,x\\&\\&\text {de donde se deduce}\\&\\&x=f(y)=sen\, y\\&\\&\text{derivamos respecto de y}\\&\\&f'(y)= \cos y\\&\\&\text{aplicando el teorema}\\&\\&(arcsen\, x)'=\frac{1}{\cos y}=\\&\\&\text{y ahora hacemos algunas sustituciones}\\&\text{para que sea una función de x}\\&\\&=\frac{1}{\sqrt{1-sen^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{align}$$·
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. NO confundas función inversa con número inverso.