Como se determina este problema de distribución de probabilidad.

Supongase que el numero de accidentes en una fabrica se puede representar por un proceso de Poisson con un promedio de 2 accidentes por semana.

a) Encuentre la distribucion de probabilidades de la variable aleatoria tiempo hasta que ocurra un nuevo accidente.

b) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y el siguiente sea mayor de 3 dias?

c) Cual es la probabilidad de que el tiempo hasta que ocurran cinco accidentes sea mayor a 2 semanas?

d) Si ocurrio un accidente en el tiempo 0, y un dıa despues aun no ocurre otro, ¿cu ́al es la probabilidad de que pasen dos dıas mas y a ́un no halla ocurrido el siguiente accidente?

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5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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a) El tiempo entre accidentes es un variable exponencial con parámetro la cantidad de accidentes por unidad de tiempo.

Sea la variable aleatoria T el tiempo en semanas hasta el próximo accidente, su función de distribución es:

$$\begin{align}&P(T\le t)=1-e^{-2t}\end{align}$$

b)

La función que he dado mide el tiempo en semanas, luego 3 días son t=3/7

$$\begin{align}&P(T\ge 3/7)=1 -P(T\le 3/7)=\\&\\&1-(1-e^{-2(3/7)})= e^{-6/7}\approx\\&\\&0.4243728457\end{align}$$

c)

Calcularemos la probabilidad de que en dos semanas ocurran 0,1,2,3 ó 4 accidentes, esa será la probabilidad de que se necesiten más de dos semanas para suceder 5 accidentes.

Para dos semanas el parámetro lambda de la distribución de Poisson será el numero accidentes esperado en 2 semanas que es 4

$$\begin{align}&P(k) = \frac{e^{-4}·4^k}{k!}\\&\\&P(0,1,2,3\; ó\;4)=\\&\\&e^{-4}\left(\frac{4^0}{0!}+\frac{4^1}{1!}+\frac{4^2}{2!}+\frac{4^3}{3!}+\frac{4^4}{4!}  \right)=\\&\\&e^{-4}\left(1+4+8+\frac {32}{3}+\frac {32}3  \right)=\\&\\&e^{-4}\left(\frac{39+32+32}{3}  \right)=\frac{103}{3}e^{-4}\approx\\&\\&0.6288369352\end{align}$$

d)

El proceso de Poisson es independiente de lo que haya sucedido antes, una vez lo iniciamos las probabilidades son siempre las mismas y se calculan con la misma fórmula.

Si la media es de 2 accidentes por semana, en un día se esperan 2/7 de accidente y en 2 días 4/7 de accidente, ese será el parámetro de la distribución de Poisson.

Y hay que hallar la probabilidad de 0 accidentes en esos 2 días.

$$\begin{align}&P(0) = \frac{e^{-\frac 47}·\left(\frac 47\right)^0}{0!}=e^{-\frac 47}\approx\\&\\&0.564718122\end{align}$$

Y eso es todo.

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