Álgebra lineal sobre espacios vectorales

Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (1, 1) y u2 = (-1, 1). Demuestre que S genera a R^2

Muchas gracias

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Jdrg 1115!

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Debemos ver que para cualquier elemento (a, b) de R^2 existe una combinación lineal de u1 y u2 cuyo valor es (a, b)

x·u1 + y·u2 = (a, b)        con x,y de R

x(1, 1) + y(-1,1) = (a,b)

(x, x) + (-y, y) = (a, b)

(x-y, x+y)=(a, b)

Esto es un sistema de ecuaciones

x-y = a

x+y = b

el cual tiene siempre solución.  Si las sumamos queda

2x = a+b

x = (a+b)/2

y si las restamos

-2y=a-b

y = (b-a)/2

Luego tomando estos dos coeficientes que hemos calculado la combinación lineal de u1 y u2 genera el elemento (a, b)

Y esto lo hace para cualquier elemento (a, b) de R^2, luego S genera R^2.

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Y eso es todo.

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