1. Resuelve los siguientes problemas: a)Demostrar que n^3 – n es múltiplo 6 para toda n Є N
b) Sea q ≠ 1. Demostrar que 1 +q +… + q^(n-1) = (q^(n – 1)/q – 1)
2 Respuestas
El ejercicio b) es falso; fijate que
$$\begin{align}&1 + q + ... + q^{n-1}\\&Lo\ podés\ escribir\ como\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^i\\&Por\ lo\ tanto\ tu\ expresión\ queda\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^i=\frac{q^{n-1}}{q-1}\\&y\ esto\ es\ claramente\ falso,\ veamos\ dos\ casos:\\&n=1 \rightarrow \sum_{i=0}^{0}q^i=q^0 = 1 \color{red}\ne \frac{q^{0}}{q-1}=\frac{1}{q-1}\\&\\&n=2 \rightarrow \sum_{i=0}^{1}q^i=q^0 +q^1=1+q \color{red}\ne \frac{q^{1}}{q-1}=\frac{q}{q-1}\\&\\&Lo\ que\ si\ es\ cierto\ (se\ demuestra\ tambien\ por\ Inducción)\ es\ la\ serie\ geométrica:\\&\sum_{i=0}^{n-1}a\ q^i=a \frac{1- q^{n}}{1-q}\\&En\ tu\ caso,\ a=1\\&\end{align}$$
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Hay que mandar un solo ejercicio en cada pregunta, contestaré el primero.
Este tipo de problemas invitan a demostralos por inducción, veamos.
Para n=1
1^3-1 = 0 que es múltiplo de 6
Supongamos que se cumple para n
$$\begin{align}&n^3-n=6k \quad con\; k\in \mathbb Z\\&\\&(n+1)^3-(n+1)=\\&\\&n^3+3n^2+3n+1-n-1=\\&\\&n^3-n + 3n^2+3n =\\&\\&6k+3(n^2+n)=\\&\\&\text {falta ver que } 3(n^2+n) \text { es múltiplo de 6}\\&\text{que lo será si }n^2+n\text{ es múltiplo de 2}\\&\\&\text{Si n es par n=2m}\\&\\&(2m)^2+2m=4m^2+2m=2(2m^2+m)\\&\\&\text{si n es impar n=2m+1}\\&\\&(2m+1)^2+2m+1=\\&4m^2+4m+1+2m+1=\\&4m^2+6m+2 = \\&2(2m^2+3m+1)\\&\\&\end{align}$$Y con eso el sumando 3(n^2+n) será múltiplo de 6, y como el otro sumando 6k también lo es, lo será la suma. Y la proposición se cumplira para n+1 con lo cual queda demostrada.
¡Gracias! que gusto saber que hay personas que lo apoyan a uno.
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Espero que mandes el ejercicio b en otra pregunta para demostrarlo completamente. Pero antes te comento que has cometido un par de erratas en el enunciado por lo cual te han dicho que es falso, es importante poner bien los paréntesis. El enunciado correcto habría sido:
Sea q ≠ 1. Demostrar que 1 +q +… + q^(n-1) = (q^n – 1)/(q – 1)
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Cuando quieras mandas ese enunciado en otra pregunta.