Como resolver ecuación de recurrencia

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$$\begin{align}&a_r=\sqrt{a_{r-1}+\sqrt{a_{r-2}+\sqrt{a_{r-3}+\sqrt{...}}}}\\&\\&a_r^2=a_{r-1}+\sqrt{a_{r-2}+\sqrt{a_{r-3}+\sqrt{...}}}\\&\\&a_r^2=a_{r-1}+a_{r-1}\\&\\&a_r^2 = 2a_{r-1}\\&\\&\text{extrayendo logaritmos en base 2}\\&\\&2·log_2 a_r=log_22+log_2a_{r-1}\\&\\&\text{llamando }b_r=log_2 a_r\\&\\&2b_r=1+b_{r-1}\\&\\&b_r=\frac 12+\frac{b_{r-1}}{2}\\&\\&b_0=log_2 27\\&\\&b_1=\frac 12+\frac {log_227}{2}\\&\\&b_2=\frac 12+\frac 14+\frac{log_2 27}{4}=\frac 34+\frac{log_2 27}{4}\\&\\&b_3= \frac 12+\frac 38+\frac{log_2 27}{9}= \frac{7}{8}+\frac{log_2 27}{8}\\&\\&b_r=\frac{2^r-1+log_2 27}{2^r}\\&\\&a_r=2^{b_r}=\sqrt[2^r]{2^{2^r-1}·27}\\&\\&\text{lo comprobamos}\\&\\&a_r^2=\sqrt[2^r]{2^{2(2^r-1)}·27^2}=\sqrt[2^r]{2^{2^r}·2^{2^r-2}·27^2}=\\&\\&2· \sqrt[2^r]{2^{2^r-2}·27^2}=2·\sqrt[2^{r-1}]{2^{2^{(r-1)}-1}·27}=2·a_{r-1}\end{align}$$

¡Uff! Es imposible trabajar con tantos exponentes de exponentes no veía nada de pequeñitos que quedan.