Determinar el área de la región limitada por las curvas dadas: y=2-xcuadrada, y=-x realizando la gráfica y la integral
Por favor me pueden ayudar a determinar el área de la región limitada por las curvas dadas: y=2-xcuadrada, y=-x realizando la gráfica y la integral
1 respuesta
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Hagamos la gráfica:
La curva negra está siempre por encima de la marrón, por lo tanto la diferencia será siempre positiva y el área coincidira con la integral de la función diferencia. En el dibujo se intuye que los puntos de corte de las dos funciones son (-1,1) y (2,-2) pero mejor que nos aseguremos
1=2-(-1)^2
-2=2 - 2^2
-1 = -1
-2=-2
Si, los dos puntos esos están en las dos curvas. Y el aré será la integral de la función negra menos la marrón entre x=-1 y x=2
A
$$\begin{align}&A=\int_{-1}^2(2-x^2-(-x))dx=\\&\\&\int_{-1}^2(2-x^2+x)dx=\\&\\&\left[2x-\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}2 \right]_{-1}^2=\\&\\&4-\frac 83+2+2-\frac 13-\frac 12=\\&\\&8-3-\frac 12=5-\frac 12=\frac 92\end{align}$$
Hola que tal!! De antemano le agradezco mucho por la respuesta, mi duda es cómo se evalúa la integral de las funciones con respecto a -1 y 2, ya que me perdí un poco cuando salen datos fraccionarios. Saludos cordiales.
Como son cosas de cursos anteriores no suelo poner todos los detalles.
$$\begin{align}&A=\int_{-1}^2(2-x^2-(-x))dx=\\&\\&\int_{-1}^2(2-x^2+x)dx=\\&\\&\left[2x-\frac{x^3}{3}+\frac {x^2}2 \right]_{-1}^2=\\&\\&2·2-\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2}-2(-1)-\left(-\frac{(-1)^3}{3} \right)-\frac{(-1)^2}{2} =\\&\\&4-\frac 83+\frac 42+2-\left(-\frac{-1}{3} \right)-\frac 12=\\&\\&4-\frac 83+2+2-\frac 13-\frac 12=\\&\\&8-3-\frac 12=5-\frac 12=\frac 92\end{align}$$Espero que lo hayas entendido y tendrás que practicar si no te manejas bien con estas operaciones, porque estas eran muy sencillas, te encontrarás con otras bastante más complicadas a lo mejor.
