Duda sobre problema Aritmética modular
hola ¡
me pueden ayudar a resolver este problema :
sea n un numero natural n =3 mod(7) , entonces n es el cuadrado de un numereo natural:
a) para todo n impar
b)nunca , cualquiera que sea n
c)solo si n es impar no primo
que alternativa es la correcta
1 Respuesta
·
Los números congruentes con 3 módulo 7 son
n = {3, 10, 17, 24, 31, 38, 45,...}
La a no es ya que no ha salido ni uno solo.
La c tampoco es porque 45 es impar no primo y no es cuadrado.
Luego por eliminaciónla correcta es la b.
·
Ya sé que queda el sinsabor de que habría que demostrarlo, pero no parece fácil. A lo mejor en el libro del ejercicio sale algo concreto que sirva para demostrarlo.
¡Parezco tonto! Por supuesto que se puede demostrar que no hay cuadrados que tengan resto 3 módulo 7 y además es bien fácil.
$$\begin{align}&Sea\; n\equiv m\quad (mod \;p)\implies n^2\equiv m^2\quad (mod\; p)\\&\\&\text{Como todo n es congruente con } \\&\{0,1,2,3,4,5,6\} \quad (mod\;7)\\&\\&\text{todo }n^2\text{ será congruente con }\\&\{0^2,1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2\}\quad (mod\;7)\\&\\&\text{Y estas congruencias son:}\\&\\&0^2=0 \equiv0 \quad (mod\;7)\\&1^2 =1\equiv 1\quad (mod\;7)\\&2^2 =4\equiv 4\quad (mod\;7)\\&3^2 =9\equiv 2\quad (mod\;7)\\&4^2 =16\equiv 2\quad (mod\;7)\\&5^2 =25\equiv 4\quad (mod\;7)\\&6^2 =36\equiv 1\quad (mod\;7)\end{align}$$Ningún cuadrado es congruente con 3 (mod 7) luego queda demostrado que la respuesta correcta es la b)
