Como obtener el residuo de esta división

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En un ejercicio anterior usabamos el binomio de Newton para simplificar la base. Ahora usaremos directamente una de las propiedades de las congruencias para acelerar

$$\begin{align}&a\equiv b \quad(mod\;m) \implies\\&\\&a^k\equiv b^k\quad(mod\;m)\\&\\&311=24·13-1\\&\\&311 \equiv -1 \quad (mod \;13)\\&\\&311^{311^{14}}\equiv(-1)^{311^{14}}\quad(mod\;13)\\&\\&\text{simplemente necesitamos saber si}\\&\\&311^{14} \text{ es par o impar}\\&\\&\text{impar por impar siempre es impar}\\&(2n+1)(2m+1) = 4nm+2n+2m+1=\\&2(2nm+n+m)+1  \text{ impar}\\&\\&\text{y 14 multiplicaciones de impar por impar}\\&\text{ será impar, luego }311^{14} \text{ es impar y }\\&(-1)^{311^{14}}=-1\\&\\&311^{311^{14}}\equiv (-1)^{311^{14}} =-1\equiv 12\quad(mod \;13)\\&\end{align}$$

Luego el resto es 12.

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Y eso es todo.