Transformaciones lineales, tengo duda de como resolver las transformaciones...
- Dé un ejemplo de función lineal cuyo dominio sean las funciones continuas de R en R
Geométricamente ¿qué transformaciones (alargamientos en x, alargamientos en y, reflexiones sobre alguno de los ejes) corresponden a la siguiente matriz?
3 0 x
-2 8 y
- ¿Cuáles son el rango y el núcleo de la transformación lineal definida como T(x,y,z)=x+y+z?
1 Respuesta
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Los ejemplos más típicos de funciones lineales de funciones son la derivada y la integral. Ahora bien, como continua no implica derivable vamos a tomar la función integral que definiremos así:
$$\begin{align}&I : C^0(\mathbb R)\to C^0(\mathbb R)\\&\\&I(f(x)) = \int_0^xf(t)dt\end{align}$$La demostración de que es lineal no es más que aplicar las propiedades de la suma de integrales y el producto por una constante.
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La primera columna es la imagen del punto (1,0) y la segunda la del punto (0,1)
Luego
T(1,0) = (3,-2)
T(0,1) = (0,8)
En el eje X se alarga tres veces la figura
En el eje Y se alarga 8 veces la distancia y, y se desplaza hacia abajo dos veces la distancia x.
No manejo muchoi este tema, solo sé que la transformación es
T(x,y) = (3x, -2x+8y)
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El núcleo es el espacio vectorial cuya imagen es 0, luego
Ker(T) ={(x,y,z) | x+y+z=0} = {(a, b, -a-b) | a,b €R} =
<(1,0,-1) , (0,1,-1)>
Donde esto último significa el espacio vectorial generado por esos dos vectores.
Y el rango es la imagen de la aplicación, es todo R, basta que tomemos los vectores (x, 0,0) para recorrer con su imagen todo el espacio de llegada.
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Y eso es todo.
