Demostración sobre conjuntos compactos y no compactos
Sea Ck una circunferencia de radio 1/k. B = unión de 1 a infinito de los Ck.
Yo digo: el 0 no es un elemento de B, pues si lo fuera debería ser un elemento de algún Ck, pero no está en ninguno. ¿Es correcto?
Agradezco la atención.
Nota. Realmente estoy demostrando que B no es compacto. Lo hice con la definición de cubiertas. A una bola de radio 2/k le quito una bola de radio 1/2k, y me queda un anillo abierto que contiene a Ck. Luego la unión infinita de estos anillos contiene a B, pero no es posible dar una subcubierta finita, pues por muy grande que sea k, siempre podré encontrar N > 2k, tal que la circunferencia de radio 1/N no estará en la unión finita.
Luego quise demostrarlo viendo que, aunque B es acotado, no es cerrado y por tanto, no sería compacto. Demuestro que 0 es punto de acumulación de B (pues toda bola con centro en 0 y radio r, contiene puntos de B; los de las circunferencias con radio 1/k < r). Pero me surgió la duda al argumentar que 0 no está en B.
1 Respuesta
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En R^n un conjunto compacto es cerrado y acotado. Y un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación.
El punto (0,0) es de acumulación ya que cualquier bola centrada en (0,0) de radio r tiene infinitos puntos de B.
Y efectivamente, el punto (0,0) no pertenece a B, la ecuación de las circunferencias es
x^2+y^2 = 1/k^2
y
0^2+0^2 = 0 distinto de 1/k^2
Luego no está en ninguna de ellas.
Y al no tener un punto de acumulación B no es cerrado y por lo tanto no es compacto.
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Y eso es todo.
